Cho tam giác ABC có AB = AC, điểm E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AE là tia phân giác của góc BAC

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ đi từng bước một.

**a) Chứng minh rằng AE là tia phân giác của góc BAC:**

Vì tam giác ABC có AB = AC, theo định lý về góc đối đỉnh, ta có:

\[
\angle ABE = \angle ACE
\]

Vì E là trung điểm của BC, nên:

\[
BE = EC
\]

Ta sử dụng định lý định vị:

- Gọi G là điểm trung gian của AE. Khi đó, AE chia góc BAC thành hai góc bằng nhau, tức là:

\[
\angle BAE = \angle CAE
\]

Vì vậy, AE là tia phân giác của góc BAC.

**b) Chứng minh rằng AE ⊥ BC:**

Xét tam giác ABC có AB = AC, E là trung điểm của BC. Ta sẽ dùng tính chất đối xứng của tam giác đều.

- Xét tam giác ABE và ACE:

- Có: \( AB = AC \) (điều kiện cho tam giác cân)
- Có: \( BE = EC \) (do E là trung điểm)
- Có: \( AE \) chung cho cả hai tam giác.

Như vậy, theo tiêu chuẩn tam giác, ta có \( \angle ABE = \angle ACE \), từ đó suy ra rằng AE là đường phân giác và đồng thời cũng cho thấy rằng AE ⊥ BC.

**c) Chứng minh rằng ba điểm A, E, K thẳng hàng:**

Gọi \( r_B \) là bán kính đường tròn tâm B, \( r_C \) là bán kính đường tròn tâm C. Khi đó, ta có các đường tròn như sau:

- Đường tròn \( (B) \) với bán kính \( BA \).
- Đường tròn \( (C) \) với bán kính \( CA \).

Hai đường tròn này giao nhau tại điểm \( I \) (khác điểm A).

Chúng ta sẽ chứng minh rằng điểm \( I \) nằm trên đường thẳng AE. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng ba điểm A, E, I nằm trên một đường thẳng.

Do A là đỉnh của tam giác đều và E là trung điểm của BC, từ đó có:

- Cả hai đường tròn (B) và (C) có tâm đối xứng qua điểm E. Vì E là trung điểm của BC, nên tính đối xứng được thể hiện rõ.

Do vậy, điểm I sẽ nằm trên đường thẳng AE, từ đó suy ra rằng ba điểm A, E, K thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh:
1. AE là tia phân giác của góc BAC.
2. AE ⊥ BC.
3. Ba điểm A, E, K thẳng hàng.