Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính BC

Để chứng minh các điểm \( B, C, M, N \) cùng thuộc đường tròn tâm \( I \) với đường kính \( BC \), ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm \( B, C, M, N \) cùng thuộc đường tròn tâm \( I \) đường kính \( BC \).

1. **Xác định các trí của các điểm**:
- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
- Đường thẳng \( BM \) là đường cao từ \( B \) hạ xuống cạnh \( AC \).
- Đường thẳng \( CN \) là đường cao từ \( C \) hạ xuống cạnh \( AB \).

2. **Chứng minh rằng các điểm \( M \) và \( N \) nằm trên đường tròn**:
- Đường tròn tâm \( I \), đường kính \( BC \) có phương trình \( IB = IC = \frac{BC}{2} \).
- Xét góc \( MBI \) và \( NCI \):
- Góc \( MBI = 90^\circ \) (do \( BM \) là đường cao).
- Góc \( NCI = 90^\circ \) (do \( CN \) là đường cao).

3. **Sử dụng tính chất của góc nội tiếp**:
- Mỗi góc mà \( M \) và \( N \) tạo ra tại \( I \) đều có giá trị \( 90^\circ \).
- Theo định lý về góc nội tiếp trong đường tròn: nếu \( \angle MBI = 90^\circ \) thì điểm \( M \) thuộc đường tròn có đường kính \( BC \).
- Tương tự, điểm \( N \) cũng thuộc đường tròn.

4. **Kết luận**:
- Vì cả \( M \) và \( N \) đều nằm trên đường tròn có đường kính \( BC \), do đó bốn điểm \( B, C, M, N \) đồng thuộc một đường tròn với tâm \( I \) và đường kính \( BC \).

### b) Chứng minh \( AH \) cắt \( BC \) tại \( K \), và \( NH \cdot HC = KH \cdot HA \)

1. **Xét kích thước**:
- Đặt \( D \) là proyección của \( A \) lên \( BC \), thì \( AD \perp BC \) và \( D \) đồng thời là giao điểm của hai đường cao \( BM \) và \( CN \) tại \( H \).

2. **Sử dụng định lý Menelaus**:
- Đường thẳng \( AH \) cắt \( BC \) tại \( K \).
- Ta có tỉ số đường thẳng:
\[
\frac{NH}{HC} = \frac{KD}{DB} \quad \text{và} \quad \frac{KH}{HA} = \frac{KD}{DC}
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
- Bằng định lý Menelaus, ta có:
\[
NH \cdot HC = KH \cdot HA
\]

### c) Chứng minh 4 điểm \( N, K, I, M \) cùng thuộc một đường tròn

1. **Chọn điểm**:
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \), và \( K \) nằm trên đoạn \( BC \).

2. **Chứng minh rằng góc \( NKM = 90^\circ \)**:
- Từ \( N \) và \( M \) đều nhìn thấy \( I \) ở điểm giữa \( BC \) với các góc vuông với \( BC \), do đó \( N, K, I, M \) cùng thuộc một đường tròn có đường kính \( NI \).

### Kết luận:
- Từ đó, ta có hai kết luận: bốn điểm \( B, C, M, N \) cùng nằm trên đường tròn tâm \( I \) đường kính \( BC \), và bốn điểm \( N, K, I, M \) cũng nằm trên một đường tròn.