Cho hình bình hành ABCD, kẻ CE vuông góc với AB tại E, CF vuông góc AD tại F, BH vuông góc AC tại H, DK vuông góc AC tại K

Chúng ta đã có hình bình hành ABCD với các đoạn thẳng CE, CF, BH, DK vuông góc như đã mô tả. Để chứng minh các đẳng thức đã cho, ta có thể áp dụng định lý Pythagore, cũng như tính chất của hình bình hành.

Đầu tiên, ta lưu ý rằng trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau, và các góc đối bằng nhau.

### a) Chứng minh \( AB \cdot AE = AH \cdot AC \)

Xét tam giác ABE, ta có:

- \( AE \) là chiều cao từ E xuống cạnh AB.
- \( AB \) là đáy của tam giác ABE.

Diện tích tam giác ABE sẽ là:
\[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE
\]

Xét tam giác AHC, có:

- \( AH \) là chiều cao từ H xuống cạnh AC.
- \( AC \) là đáy của tam giác AHC.

Diện tích của tam giác AHC sẽ là:
\[
S_{AHC} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AC
\]

Vì E và H nằm trên AB và AC, và 3 điểm A, E, H nằm trên cùng một mặt phẳng, diện tích S_ABE và S_AHC là như nhau. Do đó:
\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AC
\]

Hệ quả:
\[
AB \cdot AE = AH \cdot AC
\]

### b) Chứng minh \( AD \cdot AF = AC \cdot AK \)

Tương tự như chứng minh trước, ta xét tam giác ADF:

- \( AF \) là chiều cao từ F xuống AD.
- \( AD \) là đáy của tam giác ADF.

Diện tích của tam giác ADF là:
\[
S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AF
\]

Xét tam giác ALC (với C là điểm đối diện trên AC):

- \( AK \) là chiều cao từ K xuống AC.
- \( AC \) là đáy của tam giác ALC.

Diện tích của tam giác ALC là:
\[
S_{ALC} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AC
\]

Vì diện tích của hai tam giác này là bằng nhau (cùng chung đỉnh A), ta có:
\[
AD \cdot AF = AC \cdot AK
\]

### c) Chứng minh \( AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC^2 \)

Từ phần a) và b), ta có:

- Từ (a): \( AB \cdot AE = AH \cdot AC \)
- Từ (b): \( AD \cdot AF = AK \cdot AC \)

Cộng hai đẳng thức này lại:
\[
AB \cdot AE + AD \cdot AF = AH \cdot AC + AK \cdot AC
\]
\[
AB \cdot AE + AD \cdot AF = (AH + AK) \cdot AC
\]

Vì \( H \) và \( K \) là các điểm thuộc AC và do tam giác AHC cũng như ALC chia đều chiều cao AC, ta có \( AH + AK = AC \).

Vì thế, ta có:
\[
AB \cdot AE + AD \cdot AF = AC \cdot AC = AC^2
\]

Từ những lý do và chứng minh trên, ta đã hoàn thành các chứng minh mà đề bài yêu cầu.