Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By của (O). Từ M thuộc nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại E và F

Để giải bài toán này, chúng ta có thể thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

### Phần a: Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp.

Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp, nghĩa là góc AEM + góc AOM = 180°.

1. **Góc AEM**: Vì AE là tiếp tuyến tại A, và OH (với H là giao điểm của đường OA và đường EB) vuông góc với đường tiếp tuyến AE, nên ta có:

\[
\angle AEM = \angle OAH
\]

Hơn nữa, do OM đi qua tâm O và M thuộc đường tròn, nên ta có:

\[
\angle OAM = 90° - \theta \quad (\text{với } \theta = \angle OAH)
\]

Từ đó suy ra:

\[
\angle AEM + \angle AOM = 90° - \theta + \angle OAH = 90°.
\]

2. **Góc AOM**: Tương tự, bởi vì BF là tiếp tuyến tại B và OM cũng đi qua tâm O, chúng ta có:

\[
\angle BOM = \angle ABM.
\]

3. **Kết luận**: Vì \(\angle AEM + \angle AOM = 180°\) (như trên), vậy tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp.

### Phần b: Chứng minh tứ giác MPOQ là hình gì.

1. **Xem xét các cắt nhau**: AM cắt OE tại P và BM cắt OF tại Q.

2. **Sử dụng định lý tứ giác nội tiếp**: Chúng ta đã biết rằng AE là tiếp tuyến tại A, BF là tiếp tuyến tại B, và hai cặp góc AEP và BFP có quan hệ với nhau do tứ giác AEMO là nội tiếp.

3. **Kết luận**: Các góc MPO và QO sẽ bù nhau cũng như góc MQO và POA có thể giúp chúng ta xác định rằng tứ giác MPOQ cũng là tứ giác nội tiếp.

### Phần c: Vẽ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh K là trung điểm của MH.

1. **Vẽ MH vuông góc AB tại H**: M là một điểm trên nửa đường tròn, MH sẽ tạo với AB một góc 90°.

2. **Gọi điểm K là giao điểm của MH và EB**.

3. **Chứng minh K là trung điểm**:
- Để chứng minh K là trung điểm của MH, ta có thể chứng minh rằng EK = KF.
- Ta có thể sử dụng các tỉ lệ có liên quan do tính chất của các đường tiếp tuyến đến đường tròn từ một điểm ngoài (trong trường hợp này là M).
- Do đó, K sẽ là trung điểm của MH vì cả hai đoạn EK và KF sẽ có cùng độ dài theo tỉ lệ từ các tam giác đồng dạng.

Hy vọng rằng những giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu được cách giải bài toán này! Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc ví dụ cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!