Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca/a^2.b+b^2.c+c^2.a

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca}{a^2b + b^2c + c^2a}
\]

với điều kiện \( a + b + c = 3 \) và \( a, b, c > 0 \), chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức.

Đầu tiên, ta có thể thay biểu thức \( a^2 + b^2 + c^2 \) bằng một dạng khác dựa trên điều kiện \( a + b + c = 3 \).

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2 \implies a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Như vậy,

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Lại có:

\[
ab + bc + ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{9}{3} = 3
\]

Do đó,

\[
a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc \geq 3 + 3 = 6
\]

Tiếp theo, chúng ta xem xét mẫu số \( a^2b + b^2c + c^2a \). Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
a^2b + b^2c + c^2a \leq \frac{(a^2 + b^2 + c^2)(a + b + c)}{3} = \frac{(a^2 + b^2 + c^2) \cdot 3}{3} = a^2 + b^2 + c^2
\]

Từ đó cộng lại, ta có số mẫu luôn dương, với điều kiện là \(a, b, c > 0\).
Rõ ràng rằng

\[
a^2b + b^2c + c^2a \to 0 \text{ khi gần với cấu trúc đều }
\]

Một trường hợp để kiểm tra giá trị của \(P\) là khi \( a = b = c = 1 \):

\[
P = \frac{1^2 + 1^2 + 1^2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 1} = \frac{3 + 3}{1 + 1 + 1} = \frac{6}{3} = 2
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) khi \(a = b = c = 1\):

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } P \text{ là } 2.
\]