Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu theo thứ tự từ a đến c.

### a) Chứng minh rằng ΔAIM = ΔBIC

1. **Các yếu tố đồng dạng**:
- \( I \) là trung điểm của \( AB \) ⇒ \( AI = BI \).
- \( IM = IC \) theo yêu cầu của bài.
- \( AM = BC \) do điểm \( M \) nằm trên tia đối của \( IC \), và \( M \) được xác định sao cho \( IM = IC \).

2. **Hai góc**:
- \( \angle AIM = \angle BIC \) (góc chung giữa hai tam giác).

3. **Từ đó, suy ra**:
- Theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (CCG), ta có:
\[
ΔAIM \cong ΔBIC
\]

4. **Suy ra**:
- \( AM = BC \) và \( AN \parallel BC \).

### b) Gọi E là trung điểm của AC

1. **Điểm N**:
- Lấy điểm \( N \) trên tia đối của tia \( EB \) sao cho \( EN = EB \).

2. **Chứng minh AN // BC**:
- Trong tam giác \( AEC \), ta có:
\[
AE = EC
\]
- Do đó, 2 góc tại \( A \) và \( N \) sẽ bằng nhau. Theo tính chất, chúng ta có:
\[
AN \parallel BC
\]

### c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN

1. **Giả định**:
- \( M \) và \( N \) được xác định như yêu cầu của bài.

2. **Xét đoạn thẳng**:
- Thực hiện kiểm tra trung điểm giữa \( M \) và \( N \).
- Do \( AM = AN \), ta có:
\[
AN = AM
\]
- Mà \( A \) là điểm nằm giữa giữa \( M \) và \( N \).

3. **Kết luận**:
- \( M, A, N \) thẳng hàng và \( A \) là trung điểm của đoạn \( MN \).

Vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán theo yêu cầu.