Cho tam giác ABC có góc A = 90°, trên cạnh CB lấy điểm D sao cho CD = CA. Tia phân giác của góc C cắt AB tại E

Để giải bài toán này, ta sẽ từng bước chứng minh các phần yêu cầu.

**a) Chứng minh tam giác ACE = tam giác DCE:**

1. Ta có \( \angle A = 90^\circ \), nên \( AC \perp AB \).
2. Tại điểm \( D \) trên cạnh \( CB \), theo giả thiết \( CD = CA \).
3. Xét tam giác \( AEC \) và tam giác \( DEC \):
- Ta có \( AC = CD \) (theo giả thiết).
- Đoạn \( CE \) là chung của cả hai tam giác.
- Xét góc \( \angle ACE = \angle DCE \), bởi vì \( CE \) là tia phân giác của góc \( C \) (theo giả thiết).

Vì vậy, từ tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle ACE \cong \triangle DCE.
\]

**b) Chứng minh góc \( DEB = \angle ACB \):**

1. Từ phần (a), ta đã biết rằng
\[
\triangle ACE \cong \triangle DCE,
\]
vì vậy, các giác của tam giác cũng tương ứng:
- \( \angle AEC = \angle DEC \).
2. Ta cũng có rằng:
- \( \angle ACB = \angle A - \angle ACE = 90^\circ - \angle ACE = 90^\circ - \angle DEC \).
3. Từ (1) và (2), ta có mối quan hệ giữa các góc:
\[
\angle DEB = 180^\circ - \angle DEC = \angle ACB,
\]
thì ta có:
\[
\angle DEB = \angle ACB.
\]

**c) Chứng minh ba điểm \( C, A, M \) thẳng hàng:**

1. Giả sử M được đặt trên tia đối của tia ED sao cho \( EM = EB \).
2. Ta có \( \angle EMB = \angle DEB \) (hình thành bởi cùng một mặt phẳng).
3. Theo giả thiết ta đã chứng minh rằng \( DEB = ACB \).
4. Từ đó, \( \angle ACB = \angle EMB \).
5. Bởi vì mạch cung của góc \( C \) và góc \( E \) đều nằm trong cùng một mặt phẳng, và bởi góc nào là cùng bằng nhau \( \angle EMB = ACB\), ta có thể kết luận rằng \( C, A, M \) nằm thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh rằng ba điểm \( C, A, M \) thẳng hàng.