Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Kẻ Ax vuông góc với AM, kẻ By vuông góc với BC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại D

Để giải bài toán này, ta sẽ xem xét từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh \( AM = BM \)

Để chứng minh \( AM = BM \), ta xem tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

- Trong tam giác vuông \( ABH \), \( AH \) là đường cao nên:
\[
AH^2 = AB \cdot AM
\]
- Từ đó, \( AM \) được tính bằng:
\[
AM = \frac{AH^2}{AB}
\]

Đồng thời, \( BM \) là một nửa của \( AC \) (đường trung bình). Từ đó, ta có:
\[
AC = AB + BC
\]

Khi \( M \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[
BM = \frac{AC}{2}
\]

### b) Chứng minh \( \angle AOD = 90^\circ \)

Gọi \( O \) là giao điểm của \( AB \) và \( DM \). Hai đường thẳng \( Ax \) vuông góc với \( AM \), và \( By \) vuông góc với \( BC \).

Do đó, từ tính chất vuông góc trong tam giác, ta có:
- \( \angle AMD + \angle AOD = 90^\circ \)
- Suy ra: \( AB \perp DM \), tức là \( \angle AOD = 90^\circ \).

### c) Chứng minh \( DM \parallel AC \)

Gọi \( E \) là giao điểm của \( By \) với \( AC \).

- Ta cần chứng minh \( DM \parallel AC \). Trong tam giác \( ABC \), nếu \( DM \) và \( AC \) là hai đường thẳng song song thì tỉ lệ \( \frac{BD}{BE} \) sẽ bằng tỉ lệ \( \frac{AB}{AC} \).

Từ định nghĩa của những điểm và cấu trúc song song trong các tam giác, có thể sử dụng tỷ lệ cạnh và đường trung bình để chứng minh rằng:
\[
\frac{DM}{AC} \text{ là tỉ lệ cân xứng.}
\]

Chúc bạn thành công trong việc hoàn thành bài toán!