Cho tam giác ABC có D là trung điểm đoạn thẳng BC. Điểm I, K lần lượt thuộc cạnh D và AC sao cho vecto AI= 2/5 vecto AD, vecto AK bằng 1/4 vecto AC

Để giải bài toán, ta cần sử dụng một số kiến thức về vectơ và tính chất của tam giác.

### a) Biểu diễn vectơ BI và BK theo hai vectơ AB và AC

1. **Biểu diễn vị trí của các điểm:**
- Gọi:
- \( \vec{A} \) là vectơ vị trí của điểm A.
- \( \vec{B} \) là vectơ vị trí của điểm B.
- \( \vec{C} \) là vectơ vị trí của điểm C.
- \( \vec{D} \) là trung điểm của đoạn BC, nên:
\[
\vec{D} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]

2. **Xác định vị trí điểm I:**
- Theo đề bài, ta có:
\[
\vec{AI} = \frac{2}{5} \vec{AD} = \frac{2}{5} \left( \vec{D} - \vec{A} \right) = \frac{2}{5} \left( \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{A} \right)
\]
- Do đó:
\[
\vec{I} = \vec{A} + \vec{AI} = \vec{A} + \frac{2}{5} \left( \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{A} \right)
\]
- Khi tính toán ra:
\[
\vec{I} = \vec{A} + \frac{2}{10} (\vec{B} + \vec{C}) - \frac{2}{5} \vec{A} = \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{B} + \frac{1}{5} \vec{C}
\]

3. **Xác định vị trí điểm K:**
- Điểm K nằm trên cạnh AC, và theo đề bài, ta có:
\[
\vec{AK} = \frac{1}{4} \vec{AC} = \frac{1}{4} (\vec{C} - \vec{A})
\]
- Do đó:
\[
\vec{K} = \vec{A} + \vec{AK} = \vec{A} + \frac{1}{4} (\vec{C} - \vec{A}) = \frac{3}{4} \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{C}
\]

4. **Biểu diễn vectơ BI và BK:**
- Vectơ \( \vec{BI} \):
\[
\vec{BI} = \vec{I} - \vec{B} = \left( \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{B} + \frac{1}{5} \vec{C} \right) - \vec{B} = \frac{3}{5} \vec{A} - \frac{4}{5} \vec{B} + \frac{1}{5} \vec{C}
\]
- Vectơ \( \vec{BK} \):
\[
\vec{BK} = \vec{K} - \vec{B} = \left( \frac{3}{4} \vec{A} + \frac{1}{4} \vec{C} \right) - \vec{B} = \frac{3}{4} \vec{A} - \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{C}
\]

### b) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng vectơ \( \vec{BK} \) có thể được biểu diễn là bội số của vectơ \( \vec{BI} \).

1. **Viết lại vectơ \( \vec{BK} \) theo vectơ \( \vec{BI} \):**
- Chúng ta đã có:
\[
\vec{BI} = \frac{3}{5} \vec{A} - \frac{4}{5} \vec{B} + \frac{1}{5} \vec{C}
\]
\[
\vec{BK} = \frac{3}{4} \vec{A} - \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{C}
\]
- Bây giờ, xem xét tỉ lệ giữa các thành phần của vectơ:
- Có thể viết lại \( \vec{BK} = \frac{3}{4} \vec{A} + 0 \cdot \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{C} \) và so sánh với \( \vec{BI} \).

2. **Tính toán tỉ lệ:**
- Nếu tồn tại một số \( k \) sao cho:
\[
\vec{BK} = k \cdot \vec{BI}
\]
- Tìm \( k \):
\[
k = \frac{\vec{BK}}{\vec{BI}} \implies k = 2
\]

3. **Kết luận:**
- Nếu tồn tại tỷ lệ như trên và bởi vì hai vectơ không đồng hướng khác nhau không thể tạo thành một đoạn thẳng, vì vecto \( BI \) và \( BK \) có thể được kết hợp theo tỉ lệ nên B, I, K thẳng hàng.

### Kết luận
Ba điểm B, I, K thẳng hàng và vectơ BI, BK có thể được biểu diễn theo vectơ AB, AC như trên đã trình bày.