Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán geometic này, chúng ta sẽ làm từng bước một:

### Giả thiết:

1. \( AB < AC \)
2. \( AD \) là tia phân giác của \( \angle BAC \) (với \( D \in BC \))
3. \( AE = AB \)
4. \( AF = AC \)

### Chứng minh:

#### a) \( \triangle ADF \cong \triangle AEC \)

- Xét \( \triangle ADF \) và \( \triangle AEC \):
- \( AE = AB \)
- \( AF = AC \)
- \( \angle ADF = \angle AEC \) (cùng phụ thuộc vào \( \angle BAC \) vì \( AD \) là tia phân giác).

Sử dụng tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (CGC), chúng ta có:
\[
\triangle ADF \cong \triangle AEC
\]
Từ đó suy ra \( DF = EC \).

#### b) \( BC = EF \)

- Do \( AD \) là tia phân giác, theo định lý tia phân giác, chúng ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Sử dụng hệ quả từ \( \triangle ADF \cong \triangle AEC \), ta có \( DF = EC \), từ đó mà ta suy ra \( BC = EF \).

#### c) F, E, D thẳng hàng

- Vì \( DF = EC \) và \( D \) nằm giữa \( B \) và \( C \), khi đó ta có \( F \), \( E \), và \( D \) thẳng hàng.

#### d) \( AD \perp FC \)

- Vì \( AD \) là tia phân giác của \( \angle BAC \) và \( AE = AB \), \( AF = AC \), thì \( AD \) sẽ vuông góc với \( FC \) khi \( E \) và \( F \) nằm trên cùng một đường thẳng xuất phát từ \( A \) và rời xa \( AD \).

Tất cả các chứng minh trên cùng với giả thiết đã cho là đủ để xác định 4 mệnh đề đã nêu.