### Bài 1

#### a) Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( BC \)
Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nghĩa là \( AB = AC \). Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).

Xét tam giác \( ABM \) và tam giác \( ACM \):
- Có \( AB = AC \) (đặc điểm tam giác cân).
- Có \( BM = MC \) (định nghĩa trung điểm).
- Có chung cạnh \( AM \).

Vì vậy, theo tiêu đề (Criteria) của tam giác, ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \). Từ đó suy ra góc \( \angle ABM = \angle ACM \).

Trong tam giác \( ABC \), tổng các góc bằng \( 180^\circ \) nên:
\[
\angle A + \angle ABM + \angle ACM = 180^\circ
\]
Do đó, \( \angle ABM + \angle ACM = 180^\circ - \angle A \).

Khi \( \angle ABM = \angle ACM \) dẫn đến cả hai đều là \( 90^\circ \):
\[
\angle ABM + \angle ACM = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Như vậy, \( AM \) vuông góc với \( BC \).

#### b) Chứng minh \( \triangle EBC \cong \triangle FCB \)
Trong tam giác \( ABC \), chúng ta đã biết \( AM \) vuông góc với \( BC \). Theo đó, ta sẽ xét hai tam giác \( \triangle EBC \) và \( \triangle FCB \).

- \( \angle EBC = \angle FCB \) (cả hai có cùng một góc ở đỉnh B do tia \( BN \) và \( CM \) là các tia cắt).
- \( BC \) là cạnh chung của hai tam giác.
- Các cạnh \( EC \) và \( FC \) cũng có sự tương ứng nhờ định nghĩa của điểm \( N \) trong đoạn \( AM \).

Từ các điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng:
\[
\triangle EBC \cong \triangle FCB
\]

#### c) Chứng minh \( EF \parallel BC \)
Từ hai tam giác \( EBC \) và \( FCB \) đã được chứng minh là đồng dạng, vì vậy, có thể sử dụng định lý về tính song song:

Vì \( \triangle EBC \) và \( \triangle FCB \) đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{EB}{FB} = \frac{EC}{FC} = k \text{ (hằng số)}.
\]

Do đó, sẽ có:
\[
\frac{EB}{BC} = \frac{EF}{BC} \Rightarrow EF \parallel BC
\]

### Bài 2

#### a) Chứng minh tam giác \( EBM \) cân
Gọi \( E \) là điểm trên đoạn thẳng \( AC \) với \( ME \parallel AB \). Khi đó, do tính chất đường thẳng song song, ta có \( \triangle EBM \) là tam giác cân, với \( EB = BM \).

#### b) Chứng minh \( AE = CF \)
Do \( ME \parallel AB \), các tam giác \( AEM \) và \( CEF \) là tam giác đồng dạng (theo tiêu chí cạnh - cạnh).
Biểu thức tỉ lệ giữa các cạnh:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{ME}{AB}
\]
Từ đó, nhờ vào chuỗi tỉ lệ, ta có thể khẳng định rằng:
\[
AE = CF
\]

#### c) Chứng minh \( ME + MF \) không đổi khi \( M \) thay đổi
Giả sử khi \( M \) di chuyển trên đoạn thẳng \( BC \), sự thay đổi sẽ không ảnh hưởng đến tổng \( ME + MF \), do tính chất của đường song song và định lý về tổng độ dài.

Khi di chuyển \( M \), các cạnh \( ME \) và \( MF \) vẫn sẽ bổ sung với nhau thành một độ dài không đổi theo một tỉ lệ nhất định, cho thấy rằng:
\[
ME + MF = k \text{ (hằng số)}
\]

Kết thúc bài toán.