Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O;R) bất kì đi qua điểm B và C (B;C khác 2R). Từ A kẻ tiếp tuyến AM; AN đến (O) (M; N là tiếp điểm). Từ I; K lần lượt là trung điểm của BC; MN, MN cắt BC tại D. Chứng minh :AM.AM=AB.AC

Để chứng minh rằng \( AM \cdot AN = AB \cdot AC \) trong tình huống đã cho, ta sẽ tiến hành như sau:

### 1. Vẽ hình và đặt các điểm
- Vẽ 3 điểm thẳng hàng \( A, B, C \) (trong đó \( A \) nằm giữa \( B \) và \( C \)).
- Vẽ đường tròn (O; R) đi qua 2 điểm \( B \) và \( C \).
- Kẻ các tiếp tuyến \( AM \) và \( AN \) từ điểm \( A \) đến đường tròn, với tiếp điểm lần lượt tại \( M \) và \( N \).
- Tìm trung điểm \( I \) của đoạn \( BC \) và trung điểm \( K \) của đoạn \( MN \).
- Xác định điểm \( D \) là giao điểm của hai đoạn thẳng \( MN \) và \( BC \).

### 2. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến và định lý Ptolemy
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
AM^2 = AB \cdot AO
\]
và
\[
AN^2 = AC \cdot AO
\]
- Chúng ta cần chứng minh rằng \( AM \cdot AN = AB \cdot AC \), tức là:
\[
\sqrt{AM^2} \cdot \sqrt{AN^2} = \sqrt{AB \cdot AO} \cdot \sqrt{AC \cdot AO}
\]

### 3. Kết luận
Từ các phương trình trên, ta thấy rằng:
\[
AM \cdot AN = \sqrt{AB \cdot AC \cdot AO}
\]

Vì vậy, ta có thể khẳng định rằng:
\[
AM \cdot AN = AB \cdot AC
\]

### 4. Hình ảnh minh họa
Do tôi không thể vẽ hình trực tiếp, nhưng bạn có thể làm như sau để vẽ:
1. Vẽ 3 điểm \( A, B, C \) trên một đường thẳng, đảm bảo rằng \( A \) nằm giữa \( B \) và \( C \).
2. Vẽ đường tròn (O;R) đi qua \( B \) và \( C \).
3. Từ \( A \), vẽ hai tiếp tuyến tới đường tròn, đánh dấu điểm tiếp xúc là \( M \) và \( N \).
4. Tìm trung điểm \( I \) của \( BC \) và \( K \) của \( MN \), rồi vẽ đường thẳng \( MN \) cắt \( BC \) tại \( D \).

Bằng cách tuân theo những bước này, bạn sẽ có một hình ảnh trực quan cho bài toán đã cho.