Cho tam giác ABC (hình vẽ bên), biết BM = 4 × CM, AB = 3 × BN và SACMN - SBMN = 20cm^2. Tính diện tích ACMN

Để tính diện tích của tứ giác ACMN trong tam giác ABC, ta sử dụng những thông tin đã cho:

1. **Gọi các đại lượng**:
- Gọi \( CM = x \) thì \( BM = 4x \).
- Gọi \( BN = y \) thì \( AB = 3y \).

2. **Tính chiều cao**:
- Giả sử chiều cao từ A xuống BC là h. Diện tích tam giác ABC là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times (BN + NM + CM) \times h
\]
- Với \( BC = y + 4x \) (vì \( BN + CM = y + x \)).

3. **Diện tích các tam giác nhỏ**:
- Diện tích của tam giác SBM là:
\[
S_{SBM} = \frac{1}{2} \times BM \times h = \frac{1}{2} \times 4x \times h
\]
- Diện tích của tam giác ABN là:
\[
S_{ABN} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times 3y \times h
\]

4. **Sử dụng thông tin về diện tích**:
- Theo bài ra, có:
\[
S_{ACMN} = S_{ABC} - S_{SBM} - S_{ABN} = 20 \, cm^2
\]
- Từ đó, ta tính được diện tích ACMN:
\[
S_{ACMN} = S_{ACM} + S_{ACN}
\]
- Một cách tổng quát hơn, ta có:
\[
S_{ACM} = \frac{1}{2} \times CM \times h \quad \text{và} \quad S_{ACN} = \frac{1}{2} \times BN \times h
\]

5. **Cuối cùng, thay thế và giải**:
\[
S_{ACMN} = S_{ABC} - S_{SBM} - S_{ABN} = 20
\]
- Mặt khác, với các giá trị đã biết, ta có thể lập phương trình và giải ra được diện tích ACMN.

Sau khi thực hiện các tính toán trên, bạn có thể xác định được diện tích tứ giác ACMN. Ghép lại và thay giá trị vào các phương trình và giải hệ phương trình để tìm ra diện tích cụ thể. Kết quả cuối cùng sẽ là diện tích ACMN.