Cho hình thoi ABCD

Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật

**Chứng minh:**

1. **Tính chất của hình thoi:** Trong hình thoi, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia đôi nhau. Do đó, \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

2. **Đường thẳng song song:** Vì đường thẳng qua B song song với AC, và đường thẳng qua C song song với BD, nên:
- \( BI \parallel AC \)
- \( CI \parallel BD \)

3. **Góc vuông:** Từ tính chất của các đường thẳng song song, chúng ta có:
- \( \angle OBI = \angle AOB \) (cùng là góc)
- \( \angle OCI = \angle BOC \) (cùng là góc)

Do \( \angle AOB \) và \( \angle BOC \) là các góc đối đỉnh, nên chúng bằng nhau.

4. **Hình chữ nhật:** Vì \( BI \parallel AC \) và \( CI \parallel BD \) (là các cặp góc đối đỉnh) đều là các góc vuông, nên:
- \( \angle OBI + \angle OCI = 180^\circ \) (góc trong cùng phía).

Do đó, OBIC là hình chữ nhật.

---

### b) Chứng minh AB = OI

**Chứng minh:**

1. **Trong Hình thoi:** Ta có \( AB \) là cạnh của hình thoi. Theo tính chất hình thoi, các cạnh của hình thoi đều bằng nhau. Do đó, \( AB = AO + OB \).

2. **Độ dài OI:** Từ hình chữ nhật OBIC, ta biết rằng:
- \( OI = BI = OC \) (Tại điểm O, hai đường chéo chia đôi).

3. **Suy diễn:** Vì \( AO = OC \) (do tính chất hình thoi) và \( OB = OI \), ta có:
\[
AB = AO + OB = OI + OI = 2 \times OI
\]

4. **Sử dụng hệ thức:** Do \( OI \) là nửa cạnh của hình thoi \( AB \), ta có \( AB = OI \).

---

Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh cả hai phần của bài toán.