Để giải các giới hạn đã cho, ta sẽ làm từng giới hạn một.

### a)
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \right)
\]
Công thức tổng quát cho mỗi số hạng là \( \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \). Khi ta cộng từ \( k = 1 \) đến \( n \), ta thu được chuỗi telescoping:

\[
\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1}
\]

Khi \( n \to \infty \), giới hạn này tiến tới 1. Vậy:
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} \right) = 1
\]

### b)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2 + 3n}
\]

Công thức tổng của dãy số tự nhiên là \( \frac{n(n+1)}{2} \). Thay vào biểu thức ta có:

\[
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 3n} = \frac{n(n+1)}{2(n^2 + 3n)} = \frac{n(n+1)}{2n^2(1 + 3/n)} = \frac{1 + 1/n}{2(1 + 3/n)}
\]

Khi \( n \to \infty \), giá trị này tiến tới \( \frac{1}{2} \). Vậy:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2 + 3n} = \frac{1}{2}
\]

### c)
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^n}
\]

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
\text{Tổng } 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1
\]
\[
\text{Tổng } 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^n = \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{n+1} - 1}{2}
\]

Khi thay vào giới hạn ta có:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} - 1}{\frac{3^{n+1} - 1}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1} - 1)}{3^{n+1} - 1}
\]

Với \( 2^{n+1} \) và \( 3^{n+1} \) khi \( n \to \infty \), ta có:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{3} \right)^{n+1} = 0
\]

Vậy:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^n} = 0
\]

### Tóm tắt kết quả:
- a) \( 1 \)
- b) \( \frac{1}{2} \)
- c) \( 0 \)