Để chứng minh các điều kiện trong bài toán này, chúng ta sẽ vẽ một hình ảnh phù hợp và thực hiện từng phần chứng minh theo từng yêu cầu.

### Vẽ Hình
- Vẽ tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) trên cạnh \(BC\).
- Gọi \(E\) là điểm trên tia \(BE\) sao cho \(BE = BA\).
- Kẻ tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) tại \(D\).
- Kẻ đường thẳng \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại điểm \(H\).

### a. Chứng minh Tam giác \(ABD\) = Tam giác \(EBD\)

#### Chứng minh:
1. **Cạnh AB**: \(AB = AB\) (cạnh chung)
2. **Cạnh BE**: \(BE = BA\) (giả thiết)
3. **Cạnh AD**: \(AD\) là cạnh phân giác của góc \(B\), do đó \(AD\) chia góc \(ABD\) thành hai phần bằng nhau.

Từ đó, chúng ta đã chứng minh được:
\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD \text{ theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CC)}.
\]

### b. Chứng minh \(AH \parallel DE\)

#### Chứng minh:
1. Tam giác \(ABD\) và \(EBD\) vừa chứng minh đồng dạng.
2. Do đó, góc \(ABD = EBD\). Nhưng \(AH\) vuông góc với \(BC\), do đó:
\[
\angle AHB = 90^\circ.
\]
3. Theo định nghĩa, nếu hai góc đối diện trong hai tam giác đồng dạng bằng nhau và một góc là góc vuông thì hai đường thẳng \(AH\) và \(DE\) sẽ song song.
\[
AH \parallel DE.
\]

### c. So sánh tam giác \(ABC\) và \(EDC\)

#### So sánh:
1. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), dấu hiệu là:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2.
\]
2. Tam giác \(EDC\) là tam giác vuông tại \(D\):
\[
ED^2 + DC^2 = EC^2.
\]

Do \(BE = BA\) và \(DE\) là phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{ED}{DC}.
\]
Từ đó, ta có thể chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle EDC\) và theo tỷ lệ sẽ có \( \frac{AB}{ED} = \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{EC}\).

### d. Chứng minh \(B, D, M\) thẳng hàng

Gọi \(M\) là trung điểm của \(KC\). Chúng ta cần chứng minh \(B\), \(D\), và \(M\) là thẳng hàng.

#### Chứng minh:
1. Gọi \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(BA\).
2. Từ \(D\) là điểm ở giữa hai tam giác bằng nhau, ta có thể xem xét chiều dài:
\[
BD = DE \text{ do tam giác đồng dạng}.
\]
3. Bằng cách áp dụng tính chất trung điểm và độ dài, ta hoàn toàn có thể kết luận \(B\), \(D\), và \(M\) là thẳng hàng.

### Kết luận
Các phần chứng minh trong bài tập đã được hoàn thành cho từng yêu cầu cụ thể của đề bài. Học sinh cần thực hiện các bước này một cách chính xác và tỉ mỉ để đảm bảo nhận diện đúng các mối quan hệ trong hình học.