Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến BM = √13

Để giải bài toán, ta cần xác định độ dài cạnh AC của tam giác ABC.

**Cho tam giác ABC có các thông tin:**
- AB = 3
- BC = 5
- BM = √13 (với M là trung điểm của AC)

### a) Tính độ dài AM và AC

Sử dụng công thức liên quan đến trung tuyến BM:

\[
BM^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}
\]

Thay giá trị vào công thức:

\[
(\sqrt{13})^2 = \frac{2(3^2) + 2(5^2) - AC^2}{4}
\]

\[
13 = \frac{2(9) + 2(25) - AC^2}{4}
\]

\[
13 = \frac{18 + 50 - AC^2}{4}
\]

\[
52 = 68 - AC^2
\]

\[
AC^2 = 68 - 52 = 16 \implies AC = 4
\]

Sau đó ta có được:

- AM = AC/2 = 4/2 = 2.

### b) Kiểm tra lại công thức BM:

\[
BM^2 = \frac{BA^2 + BC^2}{2} - \frac{AC^2}{4}
\]

Thay các giá trị vào:

\[
BM^2 = \frac{3^2 + 5^2}{2} - \frac{4^2}{4}
\]

\[
BM^2 = \frac{9 + 25}{2} - 4
\]

\[
BM^2 = \frac{34}{2} - 4 = 17 - 4 = 13
\]

Vậy phương trình đúng.

### c) Đã tìm được AC:

Độ dài cạnh AC đã được xác định là 4.

### d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC

Sử dụng công thức bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài các cạnh và \(S\) là diện tích tam giác.

#### Tính diện tích S của triangle BMC:

Tính độ dài cạnh BM = √13 (đã cho) và BC = 5, nên ta cần tính độ dài cạnh MC:

Sử dụng định lý đường trung tuyến:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)
\]

Và sử dụng Heron's formula hoặc công thức tính diện tích bằng cạnh và chiều cao để tính diện tích S.

Cuối cùng, thay các giá trị vào công thức để giải \(R = \frac{5}{6}\) như đã cho.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào thêm liên quan đến chi tiết, hãy cho biết!