Bốn điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Chúng ta sẽ chứng minh hai điều được yêu cầu qua các bước sau:

### a) Chứng minh bốn điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn.

1. **Tính chất của nửa đường tròn**: Gọi O là tâm của nửa đường tròn có đường kính AB. Theo định nghĩa, mọi điểm nằm trên nửa đường tròn đều lón hơn hoặc bằng bán kính.

2. **Điểm M thuộc nửa đường tròn**: Do M thuộc nửa đường tròn có tâm O và đường kính AB, suy ra OM vuông góc với đoạn OM và MP, trong đó P là hình chiếu của M lên AB.

3. **Đường tròn đường kính CD**: Ta cần kiểm tra xem tất cả các điểm B, D, M, O có thuộc một đường tròn có đường kính CD hoặc không. Chúng ta có điều kiện nào đó về các điểm này: nếu đoạn thẳng từ B đến D luôn nằm trong nửa đường tròn, thì các điểm B, D, M, O có thể thuộc cùng một đường tròn.

4. **Sử dụng định lý Ptolemy**: Nếu B, D, M, O nằm trên một đường tròn, thì theo định lý Ptolemy, ta có sự tồn tại của tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, từ đó dẫn đến việc 4 điểm sẽ nằm trên cùng một đường tròn.

### b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

1. **Xét tính chất tiếp tuyến**: Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó cắt đường tròn tại đúng một điểm và vuông góc với bán kính tại điểm đó.

2. **Điểm O là tâm của nửa đường tròn**: Đoạn thẳng CD là đường kính của đường tròn mà 4 điểm B, D, M, O thuộc về. Nếu O là trung điểm của đoạn CD, thì suy ra OB và OD đều là bán kính của đường tròn.

3. **Kiểm tra tính vuông góc**: Để chứng minh AB là tiếp tuyến, cần chứng minh rằng OA vuông góc với AB. Vì M là điểm thuộc nửa đường tròn, nên OM vuông góc với AB.

4. **Tính chất của tiếp tuyến**: Bây giờ, nếu AB cắt đường tròn đường kính CD tại một điểm (giả sử là một điểm tiếp xúc), thì OA sẽ vuông góc với đoạn thẳng AB, tức là AB chính là tiêp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn.

Như vậy, ta đã chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Tóm lại, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán:

- Bốn điểm B, D, M, O cùng thuộc đường tròn.
- Đoạn thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.