Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, E là điểm đối xứng của A qua M

Để chứng minh các phần trong bài toán này, chúng ta sẽ dùng định nghĩa và tính chất của các hình học.

**a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật.**

Để chứng minh tứ giác ABEC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và hai cặp cạnh này vuông góc.

1. Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \). Vậy \( AM = ME \) (tính chất của điểm đối xứng).

2. Ta chứng minh rằng \( AB \perp AE \):
- Vì \( ABC \) vuông tại \( A \), nên góc \( CAB \) và \( CBA \) đều là góc vuông.
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( E \) là đối xứng của \( A \) qua \( M \), nên \( AE \) cũng vuông góc với \( AB \).

3. Tương tự, ta thấy rằng \( BC \perp AE \).

4. Kết hợp lại, chúng ta có \( AB \perp AE \) và \( BE \perp AE \), nghĩa là \( ABEC \) có 4 góc vuông, do đó nó là hình chữ nhật.

**b) Gọi D là điểm đối xứng của E qua C. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.**

Để chứng minh \( ABCD \) là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. Từ phần (a), ta biết:
- \( AE = AM \), và \( AM = MC \) (do M là trung điểm).
- Do đó, \( AE = MC \).

2. Với điểm D là đối xứng của E qua C:
- Ta có \( CE = CD \) do tính chất của điểm đối xứng.
- \( AC = AC \) (chắc chắn đúng).

3. Suy ra:
- \( AB + CD = AE + MC \) do đó:
- \( AB + CD = AD + BC \).

4. Suy ra:
- Hai cặp cạnh đối diện \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), nghĩa là tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành.

**c) Kẻ EH vuông góc với AD cắt AC tại K. Gọi I là trung điểm AK. Chứng minh HC vuông góc HI.**

Để chứng minh \( HC \perp HI \), ta sử dụng tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng vuông góc.

1. Trong tam giác \( ACD \):
- Ta có \( E \) tạo thành \( H \) nằm trên \( AD \) và \( EH \perp AD \).

2. Gọi \( I \) là trung điểm của \( AK \):
- Từ điểm \( I \) và tính chất trung điểm, ta có \( AI = IK \) do đó có thể rút ra mối liên hệ giữa \( H \) và \( K \).

3. Ta thấy rằng đường thẳng \( HC \perp HI \):
- Vì \( HI \) là phần trung giữa hai đoạn vuông góc thì tất cả các cạnh của tứ giác đều vuông góc \(\Rightarrow HC \perp HI\).

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần a), b), c) theo yêu cầu của bài toán.