Để xác định số tự nhiên thuộc tập hợp \( A \cap B \), trước tiên, ta sẽ tìm các phần tử của từng tập hợp \( A \) và \( B \).

1. **Tập hợp \( A \)**:
\[
A = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, -3x + 2 \geq 0 \}
\]
Giải bất phương trình:
\[
-3x + 2 \geq 0 \implies 2 \geq 3x \implies \frac{2}{3} \geq x \implies x \leq \frac{2}{3}
\]
Vậy, \( A = (-\infty, \frac{2}{3}] \).

2. **Tập hợp \( B \)**:
\[
B = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, |x| \leq 2 \}
\]
Điều này có nghĩa:
\[
-2 \leq x \leq 2
\]
Vậy, \( B = [-2, 2] \).

3. **Tập hợp giao \( A \cap B \)**:
\[
A \cap B = (-\infty, \frac{2}{3}] \cap [-2, 2]
\]
Tập hợp này sẽ là:
\[
A \cap B = [-2, \frac{2}{3}]
\]

4. **Tìm số tự nhiên trong \( A \cap B \)**:
Các số tự nhiên là các số nguyên không âm \( 0, 1, 2, \ldots \).
Ta có \( -2 \) không phải là số tự nhiên, nhưng \( 0 \), \( 1 \), và \( 2 \) cần xem xét:
- \( 0 \in [-2, \frac{2}{3}] \)
- \( 1 \in [-2, \frac{2}{3}] \)
- \( 2 \in [-2, \frac{2}{3}] \) (tuy nhiên, \( 2 \) không nằm trong khoảng \( (-\infty, \frac{2}{3}] \))

Do đó, các số tự nhiên thuộc \( A \cap B \) chỉ là \( 0 \) và \( 1 \).

**Kết luận**: Có **2 số tự nhiên** thuộc tập \( A \cap B \).