Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố . CMR: p + 1 chia hết 6

Để chứng minh rằng \( p + 1 \) chia hết cho 6, ta sẽ chứng minh rằng \( p + 1 \) là số chẵn và chia hết cho 3.

### Bước 1: Chứng minh \( p + 1 \) là số chẵn

Bởi vì \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, nên \( p \) phải là một trong ba dạng số nguyên tố sau:

- \( p \equiv 1 \mod 6 \)
- \( p \equiv 5 \mod 6 \)

Trong cả hai trường hợp này, chúng ta có:

- Nếu \( p \equiv 1 \mod 6 \), thì \( p + 1 \equiv 2 \mod 6 \) (có nghĩa là \( p + 1 \) là số chẵn).
- Nếu \( p \equiv 5 \mod 6 \), thì \( p + 1 \equiv 0 \mod 6 \) (có nghĩa là \( p + 1 \) cũng là số chẵn).

Vì vậy, trong cả hai trường hợp, \( p + 1 \) đều là số chẵn.

### Bước 2: Chứng minh \( p + 1 \) chia hết cho 3

Tiếp theo, chúng ta phải chứng minh rằng \( p + 1 \) chia hết cho 3. Để làm điều này, chúng ta cần đi xem xét phần dư của \( p \) khi chia cho 3:

- \( p \equiv 1 \mod 3 \implies p + 1 \equiv 2 \mod 3 \) (không chia hết cho 3).
- \( p \equiv 2 \mod 3 \implies p + 1 \equiv 0 \mod 3 \) (chia hết cho 3).

Tuy nhiên, chúng ta nhận thấy rằng nếu \( p + 2 \) cũng là số nguyên tố, thì ta có:

- Khi \( p \equiv 1 \mod 3 \), thì \( p + 2 \equiv 0 \mod 3 \), do đó \( p + 2 \) sẽ không phải là số nguyên tố trừ trường hợp \( p + 2 = 3 \) (mà không thể bởi vì \( p > 3 \)).
- Khi \( p \equiv 2 \mod 3 \), thì \( p + 2 \equiv 1 \mod 3 \) (số nguyên tố).

Vì vậy, chỉ có trường hợp \( p \equiv 2 \mod 3 \) là hợp lệ.

### Kết luận

Từ cả hai bước trên, bất kỳ số nguyên tố \( p \) lớn hơn 3 sao cho \( p + 2 \) cũng là số nguyên tố đều làm cho \( p + 1 \) chia hết cho 6. Do đó, ta có:

\[
p + 1 \equiv 0 \mod 6
\]

Vậy \( p + 1 \) chia hết cho 6. Chứng minh hoàn tất.