Để chứng minh rằng nếu \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3 và \( 2p + 1 \) là số nguyên tố thì \( 4p + 1 \) là hợp số, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các số nguyên tố và một số câu hỏi về số dư.

1. **Xét tính chẵn lẻ của \( p \):** Vì \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, nên \( p \) phải là số lẻ (số nguyên tố duy nhất chẵn là 2).

2. **Xét \( 2p + 1 \):** Khi \( p \) là số lẻ, \( 2p \) sẽ là số chẵn, và do đó \( 2p + 1 \) sẽ là số lẻ. Tuy nhiên, chúng ta cần phải xem xét điều kiện đối với \( 2p + 1 \).

3. **Tính toán modulo 3:**
- Số nguyên tố \( p \) lớn hơn 3 có thể có dạng \( p \equiv 1 \) hoặc \( p \equiv 2 \mod 3 \).

- **Trường hợp 1:** Nếu \( p \equiv 1 \mod 3 \), thì:
\[
2p \equiv 2 \mod 3 \implies 2p + 1 \equiv 0 \mod 3.
\]
Điều này dẫn đến \( 2p + 1 \) sẽ chia hết cho 3, và vì \( 2p + 1 \) là số nguyên tố lớn hơn 3, nên nó không thể là số nguyên tố.

- **Trường hợp 2:** Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \), thì:
\[
2p \equiv 1 \mod 3 \implies 2p + 1 \equiv 2 \mod 3.
\]
Trong trường hợp này, \( 2p + 1 \) có thể là số nguyên tố.

4. **Tính toán \( 4p + 1 \) modulo 3:**
- Nếu \( p \equiv 1 \mod 3 \):
\[
4p + 1 \equiv 4(1) + 1 \equiv 5 \equiv 2 \mod 3.
\]
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \):
\[
4p + 1 \equiv 4(2) + 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod 3.
\]
Điều này cho thấy \( 4p + 1 \) chia hết cho 3 khi \( p \equiv 2 \mod 3 \).

5. **Kết luận:**
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \), thì \( 4p + 1 \equiv 0 \mod 3 \). Vì \( 4p + 1 > 3 \), điều này dẫn đến \( 4p + 1 \) là hợp số (vì nó chia hết cho 3).

Do đó, chúng ta đã triệu hồi rằng nếu \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3 và \( 2p + 1 \) là số nguyên tố, thì \( 4p + 1 \) là hợp số.