Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
P = \frac{|x+3| + 7}{|x+3| + 2}
\]

với \(x\) là số tự nhiên, ta tiến hành các bước sau:

1. **Xét trường hợp**:
- Khi \(x + 3 \geq 0\) thì \(|x + 3| = x + 3\).
- Khi \(x + 3 < 0\) thì \(|x + 3| = - (x + 3)\). Tuy nhiên, với \(x\) là số tự nhiên (\(x \geq 0\)), trường hợp này không xảy ra.

2. **Thay \(|x + 3|\)**:
Vậy ta có:

\[
P = \frac{x + 3 + 7}{x + 3 + 2} = \frac{x + 10}{x + 5}
\]

3. **Rút gọn**:
Biểu thức có thể được viết lại là:

\[
P = 1 + \frac{5}{x + 5}
\]

4. **Tìm giá trị lớn nhất**:
- Khi \(x\) tăng, \(\frac{5}{x + 5}\) sẽ giảm.
- Giá trị lớn nhất của \(\frac{5}{x + 5}\) xảy ra khi \(x\) nhỏ nhất, tức là \(x = 0\).

5. **Tính giá trị khi \(x = 0\)**:
\[
P(0) = 1 + \frac{5}{0 + 5} = 1 + 1 = 2
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(2\).