Chúng ta sẽ thực hiện từng bước một trong bài tập này.

### Bài 1: Vẽ hình

1. **Vẽ tam giác ABC cân tại A**:
- Đầu tiên, chúng ta sẽ vẽ tam giác ABC với \( AB = AC \).
- Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

### a) Chứng minh \( \Delta ABM \cong \Delta ACM \)

- Vì M là trung điểm của BC, nên \( BM = MC \).
- Do tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có:
- \( AB = AC \).
- Cuối cùng, cạnh chung \( AM = AM \).

Áp dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (SSS) cho hai tam giác:

\[ \Delta ABM \cong \Delta ACM \]

### b) Chứng minh \( MH = MK \) khi kẻ vuông góc

- Kẻ hai đường vuông góc từ M đến AB và AC:
- \( MH \perp AB \)
- \( MK \perp AC \)

Do \( \Delta ABM \cong \Delta ACM \), ta có hai tam giác này giống nhau về hình dạng và kích thước.
- Do đó, các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác cũng phải giống nhau:

\[ MH = MK \]

### c) Chứng minh \( \Delta AIJ \) cân và \( IJ \parallel BC \)

- Gọi I là giao điểm của MH với AC và J là giao điểm của KM với AB.

Từ \( MH = MK \) và vì \( H \in AB \) và \( K \in AC \), suy ra:

- Tam giác AIJ có hai cạnh giống nhau:
- \( AH = AK \) (do MH = MK)

Ta cần chứng minh rằng \( IJ \parallel BC \):

- Xét hai đường thẳng \( IJ \) và \( BC \):
- Hai tam giác \( \Delta ABM \) và \( \Delta ACM \) là đồng dạng.
- Từ đó suy ra rằng hai đường thẳng \( IJ \) và \( BC \) sẽ song song với nhau.

Cuối cùng, từ các chứng minh này hoàn toàn có thể kết luận:
\[ \Delta AIJ \text{ cân và } IJ \parallel BC. \]

Hy vọng phần trình bày này sẽ giúp bạn hoàn thành bài tập một cách dễ dàng! Nếu cần thêm bất kỳ điều gì khác, hãy cho tôi biết.