Để giải bài toán này, ta cần phân tích các bước rõ ràng.

### Phân tích đa thức thành nhân tử
Bắt đầu với ví dụ cho các phần của bài toán, chúng ta sẽ xem xét các đa thức cần phân tích.

Việc phân tích thành nhân tử sẽ giúp chúng ta tìm các yếu tố hoặc biểu thức đơn giản hơn của đa thức.

### Các bước giải bài toán hình học
1. **Cho hình bình hành ABCD** với các điểm:
- E trên cạnh AB (khác A và B).
- F trên cạnh AD (khác A và D).

2. **Dùng các đường thẳng song song** để xác định các điểm I, M, K và Q:
- Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC tại I và AB tại M.
- Đường thẳng qua B và song song với EF cắt AC tại K và CD tại Q.

3. **Chứng minh hình BMDQ là hình bình hành**:
- Ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành về cạnh và góc đối.
- Cần chứng minh \(BM = DQ\) và \(BD = MQ\).

4. **Chứng minh AI = CK**:
- Từ định nghĩa các điểm, chứng minh rằng độ dài của các đoạn thẳng AI và CK là bằng nhau.

5. **Gọi N là giao điểm của EF và AC**:
- Cần chứng minh:
\[
\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AN}
\]

### Lời giải chi tiết cho từng phần
#### Chứng minh BMDQ là hình bình hành:
- Sử dụng tính chất song song:
- \(BM \parallel DQ\) và \(BD \parallel MQ\) cho thấy BMDQ là hình bình hành.

#### Chứng minh AI = CK:
- Dựa vào tính chất giao nhau của các đường thẳng song song và định nghĩa điểm.

#### Chứng minh:
\[
\frac{AB}{AE} + \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AN}
\]
- Sử dụng định nghĩa tỉ lệ trong tam giác và tính chất đồng dạng tâm.

### Kết luận
- Các bước trên sẽ giúp giải bài toán một cách chính xác. Nếu cần phân tích thêm về các đa thức cụ thể, vui lòng chỉ định các đa thức cần phân tích.