a) Chứng minh BD/BA = BH/BC
Xét ΔABD và ΔHBA:
∠BAD = ∠BHA = 90° (gt)
∠ABD = ∠HBA (cùng phụ với ∠HAB)
=> ΔABD ~ ΔHBA (g.g)
Từ đó suy ra: BD/BA = BA/BH (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=> BD/BA = BH/BC (đpcm)
b) Chứng minh HD = HE
Tứ giác ODHE có:
∠ODH = ∠OHE = 90°
∠DOE = ∠DHF (đối đỉnh)
=> Tứ giác ODHE nội tiếp (tứ giác có hai góc đối nhau bằng 180°)
=> ∠ODE = ∠OHE (cùng chắn cung OE)
Mà ∠ODE = ∠HFE (so le trong, EF // DH)
=> ∠OHE = ∠HFE
Xét ΔOHE và ΔHFE:
∠OHE = ∠HFE (cmt)
HE chung
∠HOE = ∠HFE = 90°
=> ΔOHE = ΔHFE (g.c.g)
=> HD = HE (đpcm)
c) Chứng minh BI // AC
Ta có: HD ⊥ AB, HE ⊥ AF mà HD = HE (cmt)
=> ΔHAE cân tại H
=> ∠HAE = ∠HEA
Mà ∠HEA = ∠BAI (so le trong, AI // HE)
=> ∠HAE = ∠BAI
Xét ΔAHI:
∠HAI + ∠AHI + ∠AIH = 180°
Mà ∠HAI = ∠AHI (cmt)
=> ∠AIH = 90°
=> AI ⊥ HI
Mà HI // AC (cùng vuông góc với AB)
=> BI // AC (đpcm)
d) Chứng minh K, H, G thẳng hàng
Ta có: BI // AC (cmt)
=> ΔKBI ~ ΔKAC (g.g)
=> KB/KA = KI/KC
Mặt khác: ΔHAE ~ ΔCAF (g.g)
=> HA/CA = HE/CF
Mà HE = HD (cmt)
=> HA/CA = HD/CF
Từ (1) và (2) suy ra: KB/KA = HD/CF
Áp dụng định lý Thales đảo:
=> KH // GF
Mà O ∈ KH, O ∈ GF
=> K, H, G thẳng hàng (đpcm)