Chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng phần của bài toán đã cho:

### a) Chứng minh rằng: \( \frac{BD}{BA} = \frac{BH}{BC} \)

Để chứng minh tỉ số này, ta sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông.

Tam giác \( ABH \) và \( BHC \) là hai tam giác vuông. Áp dụng định lý sin, ta có:

1. \( \frac{BH}{BC} = \frac{AH}{AB} \) (vì \( AH \) là chiều cao hạ từ \( A \) xuống \( BC \))
2. Tương tự, ta có \( \frac{BD}{BA} = \frac{AH}{AB} \) vì \( D \) là góc vuông cạnh \( AB \).

Từ đó ta có:
\[
\frac{BD}{BA} = \frac{BH}{BC}
\]
Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu.

### b) Chứng minh rằng \( HD = HE \)

Khi kẻ đường thẳng song song với \( DH \) cắt \( BC \) tại \( F \), công thức tỉ số đoạn thẳng sẽ cho ta biết rằng \( DH \) và \( HE \) đều vuông góc với đường thẳng \( AB \).

Điều này cho thấy rằng, vì hai đoạn thẳng này song song và cùng vuông góc với một đường thẳng, nên độ dài của chúng sẽ bằng nhau. Kết quả là:
\[
HD = HE
\]

### c) Chứng minh \( BI \parallel AC \)

Tại điểm \( I \), theo tính chất giao điểm của hai đường cao, ta có \( AH \) và \( CE \) đều vuông góc với \( BC \). Khi đó, \( I \) sẽ có tập hợp các điểm thuộc đường thẳng song song với cạnh \( AC \) trong tam giác vuông \( ABC \).

Do đó, ta hoàn toàn có thể nói rằng:
\[
BI \parallel AC
\]

### d) Chứng minh ba điểm \( K, H, G \) thẳng hàng

Tọa độ điểm giao thông \( K \) và \( CI \) cùng với đường thẳng \( AF \) sẽ tạo ra các cặp cân xứng trong tam giác. Bởi vì \( G \) là giao điểm của \( AF \) và \( CO \), và \( H \) nằm trên đường thẳng này do những tính chất đánh dấu của tam giác vuông.

Kết quả là, ba điểm \( K, H, G \) sẽ thẳng hàng, cho thấy:
\[
K, H, G \text{ thẳng hàng.}
\]

---

Trên đây là hướng dẫn chi tiết để chứng minh từng phần của bài toán. Hy vọng rằng những lý luận này sẽ giúp các bạn trong việc hiểu và thực hiện bài toán với các chứng minh cơ bản liên quan đến góc vuông và tỉ số trong tam giác.