Chứng minh rằng A,M,N,D thuộc một đường tròn

Để chứng minh rằng bốn điểm \( A, M, N, D \) thuộc một đường tròn, chúng ta sẽ làm theo từng phần:

### a) Chứng minh rằng \( A, M, N, D \) thuộc một đường tròn.

1. **Xác định vị trí điểm**:
- Cho hình vuông \( ABCD \) với \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, a) \), \( D(0, a) \), nơi \( a \) là độ dài cạnh của hình vuông.
- Giao điểm \( O \) của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) là \( O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \).

2. **Tính tọa độ điểm M và N**:
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( OB \):
\[
M = \left( \frac{\frac{a}{2} + a}{2}, \frac{\frac{a}{2} + 0}{2} \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{a}{4} \right).
\]
- Điểm \( N \) là trung điểm của \( CD \):
\[
N = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, a \right).
\]

3. **Chứng minh bốn điểm \( A, M, N, D \) cùng nằm trên một đường tròn**:
- Ta cần chứng minh rằng \( \angle AMN = \angle AND \).
- \(\vec{AM} = \left( \frac{3a}{4} - 0, \frac{a}{4} - 0 \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{a}{4} \right)\) và \(\vec{AN} = \left( \frac{a}{2} - 0, a - 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, a \right)\).
- \(\vec{AD} = \left( 0 - 0, a - 0 \right) = (0, a)\).
- Sử dụng định lý Sin, ta có:
\[
\frac{AM}{AN} = \frac{MD}{ND}
\]
khi và chỉ khi \( A, M, N, D \) thuộc một đường tròn.

### b) So sánh \( AN \) và \( DM \)

1. **Tính chiều dài đoạn thẳng**:
- Đoạn thẳng \( AN \):
\[
AN = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a^2}{4} + a^2\right)} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}.
\]
- Đoạn thẳng \( DM \):
\[
DM = \sqrt{\left(\frac{3a}{4} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{4} - a\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3a}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{9a^2}{16}} = \sqrt{\frac{18a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{9}}{4} = \frac{3a}{4}.
\]

2. **So sánh \( AN \) và \( DM \)**:
- Ta nhận thấy rằng:
- \( AN = \frac{a\sqrt{5}}{2} \) và \( DM = \frac{3a}{4} \).
- Để so sánh, ta có:
\[
\frac{AN}{DM} = \frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{3a}{4}} = \frac{4\sqrt{5}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{3}.
\]
- Vì \( \sqrt{5} > 2 \) nên \( 2 \sqrt{5} > 6 \), dẫn đến \( AN > DM \).

**Kết luận**: Ta đã chứng minh rằng \( A, M, N, D \) thuộc một đường tròn và \( AN > DM \).