Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

#### Phần a:

Tính giá trị biểu thức \( S = \frac{1}{1} \times 2 + \frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{3} \times 4 + \frac{1}{9} \times 10 \).

Từng hạng tử sẽ được tính như sau:

1. \( \frac{1}{1} \times 2 = 2 \)
2. \( \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2} = 1.5 \)
3. \( \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \approx 1.3333 \)
4. \( \frac{1}{9} \times 10 = \frac{10}{9} \approx 1.1111 \)

Bây giờ, chúng ta cộng lại các giá trị này:

\[
S = 2 + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{10}{9}
\]

Để tính tổng này, chúng ta sẽ quy đổi về cùng một mẫu số. Mẫu số chung của \( 1, 2, 3, 9 \) là \( 18 \):

- \( 2 = \frac{36}{18} \)
- \( \frac{3}{2} = \frac{27}{18} \)
- \( \frac{4}{3} = \frac{24}{18} \)
- \( \frac{10}{9} = \frac{20}{18} \)

Bây giờ, cộng lại:

\[
S = \frac{36}{18} + \frac{27}{18} + \frac{24}{18} + \frac{20}{18} = \frac{36 + 27 + 24 + 20}{18} = \frac{107}{18} \approx 5.9444
\]

Kết quả là \( S \approx 5.9444 \).

---

#### Phần b:

Cho \( A = \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} \).

**Chứng minh rằng \( \frac{1}{6} < A < \frac{1}{4} \)**.

**Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất cho A**

Chúng ta có thể ước lượng số hạng trong A bằng công thức tích phân. Biểu thức \( \frac{1}{n^2} \) có thể được so sánh với tích phân:

\[
\int_{5}^{100} \frac{1}{x^2} \, dx
\]

Giá trị của tích phân này sẽ cho một ước lượng tốt cho A:

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} \Rightarrow \Bigg[-\frac{1}{x}\Bigg]_{5}^{100} = -\frac{1}{100} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{100} = \frac{20}{100} - \frac{1}{100} = \frac{19}{100}
\]

Giá trị \( A > \frac{19}{100} \).

Vì \( \frac{19}{100} = 0.19 \), chúng ta có thể nói rằng:

\[
A > 0.19 > \frac{1}{6} \quad (\text{vì } \frac{1}{6} \approx 0.1667)
\]

**Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất cho A**

Tương tự, chúng ta có thể sử dụng tổng dạng:

\[
A < \sum_{n=5}^{100} \frac{1}{n^2}
\]

Tuy nhiên, tổng này có thể ước lượng bằng cách tính tích phân:

\[
\int_{4}^{99} \frac{1}{x^2} \, dx \text{ cho giá trị trên }
\]

\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} \Rightarrow \Bigg[-\frac{1}{x}\Bigg]_{4}^{99} = -\frac{1}{99} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{99}
\]

Tính giá trị cụ thể:

\[
\frac{1}{4} - \frac{1}{99} \approx 0.25 - 0.0101 \approx 0.2399
\]

Vì vậy:

\[
A < 0.25 = \frac{1}{4}
\]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{6} < A < \frac{1}{4}
\]

Kết quả cuối cùng:

- Phần a: \( S \approx 5.9444 \)
- Phần b: \( \frac{1}{6} < A < \frac{1}{4} \)