Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu.

### a. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

1. **Cấu hình hình học**: Nhận thấy rằng A là điểm cắt nhau của hai tiếp tuyến tại B và C. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( OA \perp AB \)
- \( OA \perp AC \)

2. **Sử dụng định lý**: Từ định lý tiếp tuyến, ta biết rằng \( OA^2 = OB^2 = OC^2 \). Do đó, A, B, C đều nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính \( OA \).

### b. Chứng minh: OA // BD và \( BD^2 = DH \cdot DC \)

1. **Thiết lập phương trình**:
- Theo định nghĩa, BD là đường vuông góc với CD tại H, do đó khi kéo dài BD sẽ song song với OA (chúng đều là các tiếp tuyến từ O đến đường tròn).

2. **Sử dụng định lý tương tự**:
- Theo định lý liên quan đến đường kính và tiếp tuyến (thường được gọi là định lý Pythagore mở rộng), có:
\[
BD^2 = DH \cdot DC
\]

### c. Gọi I là giao điểm của BH và AD; M là giao điểm của BC và OA. Chứng minh: IM // CD

1. **Xem xét tam giác**:
- Tam giác BHC có đường cao từ B (là BH) hạ xuống cạnh AC. Từ đó, xét hình thang và các đường song song trong tam giác tạo thành một số quan hệ rõ ràng.

2. **Sử dụng hình học song song**:
- Do BH // CD (theo định nghĩa các tiếp tuyến và đường kính), và I nằm trên BH, ta có thể cho thấy rằng IM cũng sẽ song song với CD bằng định lý tính chất đường song song (hai đường song song như vậy sẽ tạo thành một hình thang).

Nếu có thêm phần nào cần làm rõ hơn hoặc chi tiết về cách làm bài, hãy cho tôi biết!