Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O,R) cắt nhau tại điểm A cho biết OA=2R

Để giải bài toán này, ta sẽ xét từng câu một cách lần lượt.

### a. Tính số độ góc giữa tâm chính của cung BI

Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( I \) là chân đường vuông góc từ \( O \) đến \( BC \). Vì \( A \) là giao điểm của hai tiếp tuyến, nên góc \( ABI \) = góc \( ACI \).

Ta có \( OA = 2R \). Theo tính chất, \( OI \) sẽ đi qua tia \( OA \) và là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \). Từ đó, ta có \( AB = AC \) (cung BI = cung CI).

Áp dụng định lý về các tiếp tuyến từ một điểm ra đường tròn:

\[
\angle BAI = \angle ABI
\]

Từ đó, góc giữa tâm cung \( BI \) sẽ là:

\[
\angle BIA = 2\angle ABI
\]

Theo đó, lấy tổng số độ của tam giác \( OAI \) để tính ra được giá trị cần tìm.

### b. Chứng minh BC vuông góc với OI tại trung điểm của OI

Vì \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến từ cùng một điểm \( A \), chúng ta có thể khẳng định rằng \( OA \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \).

Bằng cách chỉ ra rằng \( OI \) là đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại điểm trung điểm \( I \), ta thấy rằng:

\[
\angle OAI = 90^\circ \implies OI \bot BC
\]

Điểm \( I \) chính là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

### c. Tính diện tích phần mặt phẳng tối hạn bởi tiếp tuyến AB và AC và cung nhỏ BC

Diện tích phần mà chúng ta cần là diện tích của hình quạt \( OAC \) trừ đi diện tích của tam giác \( OAB \).

**1. Diện tích hình quạt \( OAC \):**
\[
S_{quạt} = \frac{1}{2} R^2 \cdot \alpha
\]
với \( \alpha \) là số độ của góc \( OAC \).

**2. Diện tích tam giác \( OAB \):**
\[
S_{tam_giac} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin \angle OAB
\]

Tổng hợp các diện tích, ta sẽ có:

\[
S_{mặt_phẳng} = S_{quạt} - S_{tam_giac}
\]

Cuối cùng, thông qua các công thức và tính toán, bạn có thể tìm ra diện tích cần thiết.

### Kết luận

Các bước trên có thể giúp bạn trong việc chứng minh và tính toán phần diện tích theo yêu cầu của bài toán. Hãy thay các thông số cụ thể vào công thức để đạt được kết quả chính xác.