Để giải bài toán này, ta bắt đầu với điều kiện đầu tiên:

### a) Tìm số nguyên \( n \) biết rằng \( 3n + 7 \) chia hết cho \( n - 1 \)

Ta có:
\[
3n + 7 \equiv 0 \mod (n - 1)
\]
Điều này tương đương với:
\[
3n + 7 = k(n - 1)
\]
với \( k \) là một số nguyên.

Chuyển đổi phương trình:
\[
3n + 7 = kn - k
\]
\[
3n - kn = -k - 7
\]
\[
n(3 - k) = -k - 7
\]
\[
n = \frac{-k - 7}{3 - k}
\]

Để \( n \) là số nguyên, số ở phía bên phải phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( -k - 7 \) phải chia hết cho \( 3 - k \). Ta có thể thử giá trị cho \( k \) từ 1 trở đi cho đến khi tìm ra \( n \).

Thử với một vài giá trị của \( k \):
- **Nếu \( k = 5 \)**:
\[
n = \frac{-5 - 7}{3 - 5} = \frac{-12}{-2} = 6
\]

Vậy, một số nguyên thỏa mãn điều kiện là \( n = 6 \).

### b) Chứng minh rằng \( (7n + 10) \) và \( (5n + 7) \) là hai số nguyên tố cùng nhau

Ta sẽ sử dụng định nghĩa về số nguyên tố cùng nhau: Hai số \( a \) và \( b \) là nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) của chúng là 1.

Tính ƯSCLN của \( 7n + 10 \) và \( 5n + 7 \):
\[
\text{GCD}(7n + 10, 5n + 7)
\]
Dùng thuật toán Euclid,
\[
\text{GCD}(7n + 10, 5n + 7) = \text{GCD}(7n + 10 - (5n + 7), 5n + 7) = \text{GCD}(2n + 3, 5n + 7)
\]

Tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid:
\[
\text{GCD}(2n + 3, 5n + 7) = \text{GCD}(2n + 3, (5n + 7) - 2(2n + 3)) = \text{GCD}(2n + 3, n + 1)
\]

Tiếp tục:
\[
\text{GCD}(2n + 3, n + 1) = \text{GCD}(2(n + 1) + 1, n + 1) = \text{GCD}(1, n + 1) = 1
\]

Do đó, \( (7n + 10) \) và \( (5n + 7) \) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy kết quả bài toán như sau:
- a) \( n = 6 \)
- b) Chứng minh thành công rằng \( (7n + 10) \) và \( (5n + 7) \) là nguyên tố cùng nhau.