Để chứng minh \( \tan \angle ABM = \tan \angle ACM \), ta sẽ sử dụng kiến thức về các tỉ số lượng giác trong tam giác và một số tính chất hình học.

### Phần a: Chứng minh \( \tan \angle ABM = \tan \angle ACM \)

1. **Gọi các điểm:**
- Gọi \( A \), \( B \), \( C \) là ba điểm sao cho \( AB = AC \) (tam giác đều).
- Gọi \( M \) là điểm trên đoạn thẳng \( BC \).

2. **Tam giác cân:**
- Trong tam giác \( ABC \), vì \( AB = AC \) nên \( \angle ABC = \angle ACB \).
- Gọi \( \alpha = \angle ABC = \angle ACB \).

3. **Tính toán các góc:**
- Ta có:
\[
\angle ABM = \angle ABC - \angle ABM = \alpha - \angle ABM
\]
\[
\angle ACM = \angle ACB - \angle ACM = \alpha - \angle ACM
\]

4. **Tính tỉ số lượng giác:**
- Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác:
\[
\tan \angle ABM = \frac{BM}{AM}, \quad \tan \angle ACM = \frac{CM}{AM}
\]
- Như đã biết, \( AM \) là chung cho cả hai tỉ số.
- Nếu ta giả thiết \( M \) chia \( BC \) thành hai phần bằng nhau và \( B \), \( C \) có khoảng cách như nhau đến \( M \), ta có:
\[
BM = CM
\]

5. **Kết luận:**
- Từ đó suy ra:
\[
\tan \angle ABM = \tan \angle ACM
\]

### Phần b: Trên tia đối của \( MA \) lấy \( N \) sao cho \( MA = MN \)

1. **Xét điểm \( N \):**
- Gọi \( N \) là điểm trên tia đối của \( MA \) sao cho \( MA = MN \), tức là \( N \) đối xứng với \( A \) qua điểm \( M \).

2. **Tính toán với \( N \):**
- Sử dụng tính chất đối xứng:
- Các đường thẳng \( MN \) có cùng độ dài với \( MA \).
- Các góc sẽ có tính chất tương đương.

3. **Kết luận:**
- Việc xác định điểm \( N \) sẽ duy trì các tỉ số lượng giác, từ đó ta có thể thấy
\[
\tan \angle ABM = \tan \angle ACM
\]
- Như vậy, khi \( MA = MN \), tính chất tỉ số lượng giác giữa các góc \( ABM \) và \( ACM \) vẫn được giữ nguyên.

### Tóm lại:
- \( \tan \angle ABM = \tan \angle ACM \) được chứng minh thông qua các thuộc tính của tam giác và các tỉ số lượng giác, cùng với việc bổ sung điểm \( N \) để hỗ trợ tính chất đối xứng.