Để giải bài toán này, trước tiên, chúng ta có thể vẽ hình và thiết lập các giả thiết, sau đó tiến hành chứng minh các phần yêu cầu.

### Vẽ hình
1. Vẽ tam giác ABC với AB = AC.
2. Kẻ BD vuông góc với AC (D thuộc AB).
3. Kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc AC).
4. Gọi O là giao điểm của BD và CE.
5. Gọi H là trung điểm của BC.

### Giả thiết
1. Tam giác ABC là tam giác cân, tức là AB = AC.
2. BD vuông góc với AC tại D.
3. CE vuông góc với AB tại E.

### Kết luận
Chúng ta sẽ chứng minh các kết luận sau:

#### a. Tam giác ADB = Tam giác AEC
**Chứng minh:**
- Trong tam giác ABC, ta có:
- **AB = AC** (giả thiết tam giác cân)
- **\(\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ\)** (BD và CE đều vuông góc với cạnh tương ứng)

Do đó, theo tiêu chuẩn tam giác vuông, chúng ta có:
- Tam giác ADB và tam giác AEC có 2 cạnh tương ứng và 1 góc chung (cạnh huyền).
- Vậy, theo giả thuyết, ta có:
\[ \triangle ADB \cong \triangle AEC \]

#### b. \( BO = CO \)
**Chứng minh:**
- Vì D và E lần lượt là giao của BD và CE với AB và AC, từ a ta biết rằng:
- \( ADB \cong AEC \) (các tam giác giống nhau)

- Do đó, \( AD = AE \) và \( DB = EC \).
- Mọi đoạn vuông góc là đối xứng, nên O là giao điểm tạo ra sự đối xứng qua A, từ đó suy ra:
\[ BO = CO \]

#### c. AO là tia phân giác của góc BAC
**Chứng minh:**
- Từ b, ta có BO = CO.
- Do đó, AO chia góc BAC thành 2 góc bằng nhau.
- Vậy, AO là tia phân giác của góc BAC.

#### d. A, O, H thẳng hàng
**Chứng minh:**
- Vì H là trung điểm của BC, nghĩa là từ H đến điểm O sẽ tạo thành một đường thẳng đi qua A.
- Ta đã thiết lập rằng:
- O chia 2 cạnh BO, CO thành 2 đoạn bằng nhau.

- Áp dụng định lý về trung điểm và đường phân giác trong tam giác thì A, O, và H thẳng hàng.

#### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh xong tất cả các phần yêu cầu trong bài toán.