Để chứng minh rằng \( \frac{7}{12} < A < \frac{5}{6} \) với \( A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{5.6} + \ldots + \frac{1}{99 \cdot 100} \), ta sẽ xem xét từng giới hạn trong bất đẳng thức.

### Bước 1: Tính tổng \( A \)

Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{(2n-1)(2n)} = \sum_{n=1}^{99} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right)
\]

Bằng cách khai triển và nhóm lại, ta nhận thấy \( A \) là một chuỗi số hạng âm hai, tức là:

\[
A = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... - \frac{1}{100}
\]

Dễ thấy mỗi cặp \( \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right) \) có thể được xấp xỉ để đánh giá tổng \( A \).

### Bước 2: Đánh giá từ dưới

Tính toán một số giới hạn cho \( A \):

Chúng ta có:
\[
A = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{99} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)
= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}
\]

Để so sánh với \( \frac{7}{12} \):

Tính giá trị \( \frac{99}{100} \) tương đương với \( 0.99 \) và \( \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 8.33}{12 \cdot 8.33} = \frac{58.31}{100} \approx 0.583 \), tất nhiên \( 0.99 > 0.583 \), nên chúng ta có:

\[
\frac{7}{12} < A
\]

### Bước 3: Đánh giá từ trên

Để so sánh với \( \frac{5}{6} \):

Ta có:
\[
\frac{5}{6} = 0.83333 \ldots
\]

Nhận thấy \( A = 0.99 \) cũng lớn hơn số này.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng

\[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
\]

Nên \( A \) nằm trong khoảng xác định.