Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông, tia phân giác, và một số định lý cơ bản trong hình học.

### a) Chứng minh ∆MCA = ∆MHA

Trong tam giác vuông ∆CME tại C, ta có:
- CM = MC (định nghĩa điểm M là trung điểm của đoạn CE).
- MA là tia phân giác, nên theo định lý tia phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{CA}{AE} = \frac{MC}{ME}
\]

Đặt:
- MH = MC (theo giả thiết).
- Như vậy, chúng ta có MA là tia phân giác, từ đó suy ra:

Tam giác MCA và tam giác MHA có:
- CA = HA (vì A nằm trên CE và H nằm trên ME).
- MA = MA (đương nhiên).
- MC = MH (dựa theo giả thiết).

Vì hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc kẹp giữa hai cạnh đó bằng nhau (MA là tia phân giác), nên:

\[
\Delta MCA \cong \Delta MHA \text{ (cạnh - góc - cạnh)}
\]

### b) Chứng minh MA ⊥ CH

Trong tam giác MCA, vì MA là tia phân giác của góc CME, theo định nghĩa của tia phân giác trong tam giác vuông, ta có:

\[
\angle CMA = \angle ACB
\]

Khi đó, áp dụng định lý về tính chất của tia phân giác trong tam giác vuông, ta sẽ có:

Nếu MA là tia phân giác, từ C (góc vuông) kéo một tia về điểm H sao cho MH = MC, suy ra là:

\[
\angle MAH = 90^\circ
\]

Từ đó, ta khẳng định rằng:

\[
MA \perp CH
\]

### c) Chứng minh ba điểm H, A, K thẳng hàng

Giả sử K là điểm trên tia đối của CM sao cho CK = EH.

Chúng ta sẽ chứng minh hai đoạn HÁ và CK cùng độ dài:
- Từ b), ta có H thuộc đường thẳng CH và KH = EH (theo giả thiết).

Vì CK = EH = MH do đã cho, và từ (b) ta biết MA ⊥ CH.

Bây giờ, xét tam giác HKA:
- Khi đó, CA = HA và CK = EH.

Sử dụng lý thuyết, chúng ta biết rằng nếu điểm H và A nằm trên cùng một đường thẳng và CK = EH, thì điểm K phải nằm trên đường thẳng AH.

Cuối cùng, ta kết luận rằng ba điểm H, A, K là thẳng hàng.

### Hình minh họa

Bạn có thể vẽ hình để minh họa các điểm C, M, E, A, H, K, và các cạnh tương ứng của tam giác dựa trên các mục đã chứng minh. Nhớ rằng C là đỉnh vuông, MA là tia phân giác, và MC = MH.

Nếu cần phác thảo hình, hãy vẽ chính xác các điểm và sử dụng các ký hiệu tương ứng để thể hiện các yếu tố đã chứng minh.