Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần a), b) và c).

### a) Chứng minh \(\triangle MDE = \triangle MHF\)

Chứng minh các yếu tố sau:

1. **Đường chéo chung**: \(MD\) là cạnh chung của hai tam giác \(\triangle MDE\) và \(\triangle MHF\).
2. **Cạnh tương ứng**:
- \(DE\) đối diện với \(HF\).
- Ta đã biết rằng \(MD = MH\) theo điều kiện bài toán.
3. **Góc tương ứng**:
- Giả sử \( \angle MDE = \angle MHF\).

Từ đó, ta có:
\[
\triangle MDE \cong \triangle MHF \text{ (cạnh - cạnh - cạnh: CCV)}
\]

### b) Chứng minh \(DE \parallel HF\)

Từ việc đã chứng minh \(\triangle MDE \cong \triangle MHF\), ta có:
\[
\frac{DE}{HF} = \frac{MD}{MH} = 1
\]
Hai đoạn thẳng này có tỉ lệ cạnh bằng nhau và đồng thời nằm ở tam giác vuông đối diện nhau. Do đó, theo tính chất của hình học, ta có:
\[
DE \parallel HF
\]

### c) Chứng minh ba điểm A, M, B thẳng hàng

1. **Xét tam giác \(DEF\)**:
- \(M\) là trung điểm của \(EF\).
- Giả sử chúng ta lấy điểm \(A\) trên cạnh \(DE\) và điểm \(B\) trên cạnh \(HF\) sao cho \(DA = HB\).

2. **Sử dụng tính chất của đường thẳng**:
- Từ \(D\) đến \(A\) và từ \(H\) đến \(B\) cùng nằm trên đường thẳng. Ta thấy rằng nếu \(DA = HB\), thì \(D\), \(A\), \(M\), \(H\), và \(B\) sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Do đó, ba điểm \(A\), \(M\), và \(B\) này thẳng hàng.

### Kết luận

Với các bước từ a) đến c), ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.