Để xác định số lượng giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \([-16; 16]\) cho hàm số

\[
y = (x-1)(x^2 + 2mx + 1)
\]

có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành, trước hết, chúng ta cần tìm điều kiện để hàm có hai cực trị.

1. **Tính đạo hàm của hàm số**:

Ta có:
\[
y = (x-1)(x^2 + 2mx + 1)
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích, ta được:
\[
y' = (x^2 + 2mx + 1) + (x-1)(2x + 2m)
\]

Sau khi làm đơn giản hóa, kết quả sẽ cho ta phương trình bậc ba:

\[
y' = 3x^2 + (2m + 2)x + (1 - 2m)
\]

2. **Tìm điều kiện để có hai cực trị**:

Để hàm số \(y\) có hai điểm cực trị, phương trình bậc hai \(y' = 0\) cần có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[
D = b^2 - 4ac > 0
\]

Trong trường hợp này, \(a = 3\), \(b = 2m + 2\), và \(c = 1 - 2m\):

\[
D = (2m + 2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (1 - 2m) > 0
\]

Giải bất phương trình này, ta được điều kiện cần thiết cho \(m\).

3. **Giải phương trình**:

\[
D = (2m + 2)^2 - 12(1 - 2m) > 0
\]

Phát triển và sắp xếp lại:
\[
4m^2 + 8m + 4 - 12 + 24m > 0
\]
\[
4m^2 + 32m - 8 > 0
\]
\[
m^2 + 8m - 2 > 0
\]

4. **Giải phương trình bậc hai**:

Tính delta:
\[
D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 64 + 8 = 72
\]

Nghiệm của phương trình là:
\[
m = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{2}
\]

Đặt giá trị gần đúng:
\[
3\sqrt{2} \approx 4.24 \Rightarrow m_1 \approx 0.24, \, m_2 \approx -7.24
\]

Phương trình bậc hai \(m^2 + 8m - 2 = 0\) có hai nghiệm tại khoảng:
\[
m < -7.24 \text{ hoặc } m > 0.24
\]

5. **Xét khoảng \( m \in [-16, 16] \)**:

Giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn:
- Từ \([-16, -8]\)
- Từ \([1, 16]\)

Tổng số giá trị nguyên là:
- Điều kiện trên \([-16, -8]\): các số nguyên là \(-16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9\) (8 giá trị)
- Điều kiện trên \([1, 16]\): các số nguyên là \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\) (16 giá trị)

Tổng cộng:
\[
8 + 16 = 24
\]

Vậy số lượng giá trị nguyên của \( m \) là **24**.