Để chứng minh rằng đoạn thẳng KD là tiếp tuyến của đường tròn O, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

**Bước 1**: Xác định các điểm và hình dạng liên quan
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( M \) là điểm nằm ngoài đường tròn, \( MA \) và \( MB \) là hai tiếp tuyến từ \( M \) đến đường tròn tại các điểm tiếp giáp \( A \) và \( B \).
- Gọi \( D \) là điểm cực đại của đường kính \( AD \) của đường tròn.
- \( H \) là giao điểm của đoạn thẳng \( OM \) và đoạn thẳng \( AB \).
- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \).
- \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( OI \) và \( MB \).

**Bước 2**: Chứng minh KD là tiếp tuyến
1. Từ hình vẽ, ta có \( MA \) và \( MB \) là các tiếp tuyến từ điểm \( M \) tới đường tròn \( O \). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( OA \perp MA \)
- \( OB \perp MB \)

2. Đánh giá các đoạn thẳng:
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BD \), nên \( BI = ID \).
- Đường thẳng \( OI \) cắt \( MB \) tại điểm \( K \).

3. Xét tam giác \( OBI \):
- Ta có \( \angle OBI = 90^\circ \) do \( OB \) là bán kính và vuông góc với tiếp tuyến \( MB \).
- Do \( I \) nằm giữa \( B \) và \( D \), ta có thể nói rằng \( \angle OIK = \angle OMB\).

4. Ta cần chứng minh rằng \( KD \) vuông góc với \( OK \):
- Vì \( OK \) thuộc đường thẳng đi qua \( O \) và \( I \), suy ra \( OK \) là đường nối từ tâm đến trung điểm \( I \).
- Do \( MB \) là tiếp tuyến tại \( B \) và \( KD \) là đường vuông góc với \( OK \), từ đây suy ra \( KD \) phải vuông góc với \( OB \).

5. Cuối cùng, từ tính chất của tiếp tuyến, ta khẳng định rằng đoạn thẳng \( KD \) sẽ là tiếp tuyến của đường tròn \( O \) tại điểm tiếp điểm \( D \).

**Kết luận**: Chúng ta đã chứng minh rằng \( KD \) là tiếp tuyến của đường tròn \( O \) bằng cách chỉ ra rằng \( KD \) vuông góc với đường kính \( OD \) tại điểm \( D \), đồng thời thông qua tính chất của các tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn.