Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng câu hỏi:

### a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Tam giác ABC vuông tại A có nghĩa là góc tại A là góc vuông. Điểm O là trung điểm của BC, và điểm D là điểm đối xứng của A qua O. Khi đó, tứ giác ABCD sẽ là hình gì?

- Tứ giác ABCD sẽ là hình bình hành. Lý do là:
- Đường chéo AC (từ A đến C) và BD (từ B đến D) sẽ cắt nhau tại trung điểm O, đồng thời AO = OD và BO = OC do O là trung điểm của BC.
- Bên cạnh đó, AB song song với CD và BC song song với AD.

### b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. Biết BC lần lượt cắt AK, DI tại M, N. Chứng minh O là trung điểm của MN.
Để chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn MN, ta có thể làm theo các bước như sau:

1. **Tính toán tọa độ**:
- Gọi các điểm A, B, C có tọa độ xác định (ví dụ: A(0, 0), B(b, 0), C(0, c)). Từ đó, ta có O là trung điểm của BC, tức O((b/2), (c/2)).
- Điểm D là điểm đối xứng của A qua O, nên D có tọa độ D(b, c).

2. **Tìm tọa độ các điểm M và N**:
- **Tính tọa độ I và K**:
- I là trung điểm của AC: I((0 + 0)/2, (0 + c)/2) = (0, c/2).
- K là trung điểm của BD: K((b + b)/2, (0 + c)/2) = (b, c/2).

3. **Phương trình đường thẳng**:
- Cần viết phương trình của các đường thẳng AK và DI.
- Tìm giao điểm M của BC với AK và giao điểm N của BC với DI.

4. **Kiểm tra O có phải là trung điểm của MN hay không**:
- Sử dụng công thức trung điểm để xác minh xem tọa độ O có bằng trung bình của tọa độ M và N.

Nếu O = ((Mx + Nx) / 2, (My + Ny) / 2), thì O là trung điểm của MN.

Như vậy, thông qua các bước trên, ta có thể kết luận rằng O thực sự là trung điểm của MN.