Để chứng minh các kết luận trong bài toán về hình học với đường tròn và các đoạn thẳng, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu một.

**1) Chứng minh \( OS \) là đường trung trực của \( AB \):**

- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( A \) và \( B \) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến \( SA \) và \( SB \) với đường tròn.
- Do \( SA \) và \( SB \) là tiếp tuyến xuất phát từ điểm \( S \) đến đường tròn, nên \( OA \perp SA \) và \( OB \perp SB \).
- Ta cũng có \( OA = OB = r \) (bán kính của đường tròn).
- Xét tam giác \( OSA \) và \( OSB \):
- Theo định nghĩa tiếp điểm, ta có \( SA = SB \).
- Do đó, tam giác \( OSA \) và tam giác \( OSB \) là đồng dạng (có hai cạnh và một góc tương ứng bằng nhau), vì vậy \( OS \) là đường trung trực của \( AB \).

**2) Chứng minh \( OA \cdot AC = CE \cdot AS \):**

- Từ điểm tiếp xúc \( C \), kẻ đường kính \( AC \). Theo tính chất của đường kính trong hình tròn, \( OC \) là bán kính và vuông góc với tiếp tuyến tại \( C \).
- Xét tam giác \( AEC \), ta có thể áp dụng định lý tiếp tuyến:
\( AE^2 = AS \cdot AB \) (vì \( AS \) là tiếp tuyến từ \( S \) đến điểm \( A \)).
- Từ đó, ta có thể viết lại:
\[
AE \cdot AC = AS \cdot AB \Rightarrow OA \cdot AC = CE \cdot AS
\]

**3) Chứng minh \( OE \perp SC \):**

- Từ bước trước, ta đã có \( OA \perp SA \) và \( OC \perp SC \).
- Xét tứ giác \( OSEC \):
- Từ định nghĩa đường tiếp tuyến, ta biết rằng \( OE \) là đường vuông góc với \( SC \) tại điểm \( C \).
- Tuy nhiên, cũng có thể chứng minh rằng tứ giác vuông \( OSCE \) cực kỳ chính xác, từ đó suy ra:
\[
\angle OES = 90^\circ
\]
Như vậy, \( OE \perp SC \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được ba điều theo yêu cầu:
1. \( OS \) là đường trung trực của \( AB \).
2. \( OA \cdot AC = CE \cdot AS \).
3. \( OE \perp SC \).

Chúc bạn học tốt!