Để phân tích đa thức thành nhân tử cho biểu thức \((x^3 + x + 1)(x^3 + x) - 2\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Nhân hai đa thức**: Tính tích của hai đa thức \((x^3 + x + 1)(x^3 + x)\).

\[
(x^3 + x + 1)(x^3 + x) = x^3(x^3) + x^3(x) + x(x^3) + x(x) + 1(x^3) + 1(x)
\]

Tính từng hạng tử:

\[
= x^6 + x^4 + x^4 + x^2 + x^3 + x = x^6 + 2x^4 + x^3 + x^2 + x
\]

2. **Trừ 2 khỏi kết quả**:
\[
x^6 + 2x^4 + x^3 + x^2 + x - 2
\]

3. **Phân tích đa thức này**: Để phân tích, chúng ta sẽ tìm các nghiệm của đa thức \(x^6 + 2x^4 + x^3 + x^2 + x - 2\). Mặc dù việc tìm nghiệm có thể hiện khá phức tạp, ta có thể thử các giá trị nguyên nhỏ.

Thử với \(x = 1\):
\[
1^6 + 2 \cdot 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 - 2 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 - 2 = 4 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Thử với \(x = 0\):
\[
0^6 + 2 \cdot 0^4 + 0^3 + 0^2 + 0 - 2 = -2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Thử với \(x = -1\):
\[
(-1)^6 + 2 \cdot (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 + 2 - 1 + 1 - 1 - 2 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Vì vậy, \(x + 1\) là một yếu tố của đa thức.

4. **Chia đa thức cho \(x + 1\)**: Sử dụng phép chia hoặc phương pháp synthetic division để chia \(x^6 + 2x^4 + x^3 + x^2 + x - 2\) cho \(x + 1\).

Kết quả chia sẽ cho ta đa thức bậc 5: \(x^5 - x^4 + x^2 + 0\). Chúng ta có thể tiếp tục thực hiện việc chia cho các yếu tố khác nếu cần.

5. **Kết luận**: Với bước phân tích trên, chúng ta đã tìm được một phần yếu tố của đa thức. Để có được dạng phân tích hoàn chỉnh, ta sẽ tiếp tục tìm các yếu tố cho đa thức \(x^5 - x^4 + x^2\).

Như vậy, kết quả cho biểu thức ban đầu sẽ là:
\[
(x + 1)(\text{đại lượng bậc 5})
\]

Nếu bạn cần làm thêm nữa hoặc cần hỗ trợ cụ thể hơn trong từng phép toán hay tìm yếu tố bậc 5, hãy cho tôi biết!