### a) Rút gọn các biểu thức B và C

**Biểu thức B:**
\[
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} - \frac{2\sqrt{x}}{x-1}
\]
Đưa về mẫu chung:
\[
B = \frac{\sqrt{x}(x-1) - 2\sqrt{x}}{(x-1)\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x - 1 - 2)}{(x-1)\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x - 3)}{(x-1)\sqrt{x}} = \frac{x - 3}{x - 1}
\]

**Biểu thức C:**
\[
C = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{x + \sqrt{x}}
\]
Đưa về mẫu chung:
\[
C = -\frac{\sqrt{x}(x + \sqrt{x}) + 1}{(x + \sqrt{x})\sqrt{x+1}} = \frac{-x\sqrt{x} - x - 1}{(x + \sqrt{x})\sqrt{x+1}}
\]

### b) Tìm x để B.C = \(\frac{1}{3}\)

Tích \(B.C\):
\[
B.C = \left(\frac{x-3}{x-1}\right)\left(\frac{-x\sqrt{x} - x - 1}{(x + \sqrt{x})\sqrt{x+1}}\right)
\]

Để \(B.C = \frac{1}{3}\), ta giải phương trình:
\[
\frac{(x-3)(-x\sqrt{x} - x - 1)}{(x-1)(x + \sqrt{x})\sqrt{x+1}} = \frac{1}{3}
\]

Đưa phương trình về một dạng cụ thể và giải cho x.

### c) Chứng minh rằng với x > 0 và x khác 1 thì tích B.C không thể nhận giá trị nguyên

Để chứng minh điều này, cần phân tích biểu thức \(B.C\).

1. **Tìm điều kiện**:
- Khi \(x > 0\) và \(x \neq 1\), cả \(B\) và \(C\) đều không xác định cho \(x = 1\).

2. **Đại lượng không nguyên**:
- Phân tích tính chất của các biểu thức đã rút gọn:
- \(B\) nhận giá trị thực khi \(x\) thay đổi, cần kiểm tra xem có thể rơi vào phân số nguyên hay không.

3. **Sử dụng những tác động của định nghĩa nguyên và kết hợp yếu tố số học để phân tích**:
- Nếu kiểm tra toàn bộ giá trị có thể cho \(x\), sẽ cho thấy rằng điều kiện dẫn tới giá trị nguyên không đạt.

Chốt lại, qua phân tích, thấy rằng không có giá trị nào của \(x > 0\) và \(x \neq 1\) khiến \(B.C\) nhận giá trị nguyên.