Để chứng minh bốn điểm A, C, O, I cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý liên quan đến các góc trong một đường tròn và tính chất của góc nội tiếp.

### Các định lý và tính chất cần nhớ:

1. **Góc nội tiếp**: Nếu một góc nội tiếp một cung của đường tròn, thì nó sẽ bằng ½ số đo của cung đó.
2. **Các điểm cùng nằm trên một đường tròn**: Nếu ba điểm A, B, C nằm trên cùng một đường tròn, thì góc ACB sẽ bằng ½ số đo cung AB.

### Chứng minh:

1. **Góc AOB và góc AIB**:
- Ta có điểm O là tâm của đường tròn, do đó OA = OB (bán kính). Góc AOB là góc ở tâm.
- Góc AIB là góc nội tiếp. Theo tính chất của góc, ta có:
\[
\angle AIB = \frac{1}{2} \angle AOB
\]
- Điều này cho thấy góc AIB liên quan trực tiếp đến góc AOB.

2. **Góc ACD**:
- Nếu C là điểm trên đường tròn sao cho AC và AD là các dây của đường tròn.
- Do đó, ta có:
\[
\angle ACB = \angle AIB
\]
- Từ đó suy ra rằng điểm I cũng nằm trên đường tròn do góc AIB và góc ACB bằng nhau.

3. **Kết luận**:
- Vì O là tâm của đường tròn và góc AIB bằng với góc ACB, nên các điểm A, C, O, I đều nằm trên một đường tròn.

Vậy, bốn điểm A, C, O, I cùng thuộc một đường tròn.