Để chứng minh các yêu cầu trên cho tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \), ta tiến hành như sau:

### Phần a: Chứng minh \( BD = CD \)

Theo định nghĩa về tia phân giác, vì \( D \) là giao điểm của tia phân giác \( AE \) với đoạn thẳng \( BC \), nên ta có:

\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}
\]

Gọi \( AB = x \) và \( AC = y \) với \( x < y \). Ta đã đặt \( AE = AB \), tức là:

\[
AE = x
\]

Mặt khác, chúng ta cũng có:

\[
\frac{BD}{CD} = \frac{x}{y}
\]

Do đó, thay thế \( AE = AB \) vào trong tỉ số, ta có:

\[
\frac{BD}{CD} = \frac{x}{x}
\]

Vì vậy, kết luận được rút ra là:

\[
\frac{BD}{CD} = 1 \implies BD = CD
\]

### Phần b: Chứng minh \( F, D, E \) thẳng hàng

Đặt \( F \) nằm trên tia đối của \( BA \) sao cho \( BF = CE \).

Từ tam giác \( ABE \) và \( ACF \), ta có:

- \( AB = AE = x \)
- \( AC = CE + EF \) (với \( EF = BF \))

Ta biết rằng \( BD = CD \) từ phần a, nên có thể kết luận rằng:

\[
BD = DC
\]

Vì \( BF = CE \), suy ra \( BF = CD \) (bởi vì \( CE \) và \( CD \) đều bằng \( BF \)). Khi đó, từ \( F, D \) đều thuộc đoạn thẳng \( BC \) và cùng tỉ lệ gần nhau, ta có \( F, D, E \) thẳng hàng.

### Phần c: Chứng minh \( AD \) vuông góc với \( FC \)

Để chứng minh \( AD \perp FC \), ta sẽ sử dụng các yếu tố hình học trong tam giác.

1. Bằng chứng đầu tiên là từ tổng thể hình học:
- Ta đã chứng minh rằng \( BD = CD \), tức là \( D \) là trung điểm của \( BC \).
- Ta cần xem xét góc \( ADF \) và góc \( CDA \).

2. Theo định nghĩa hình học về trung điểm:
- Từ \( D \) kéo một đường vuông góc với \( FC \), và do tính chất của phân giác góc cho thấy rằng \( D \) là vị trí mà \( AD \) cắt \( FC \) tại góc vuông.

Khi đó:

\[
AD \perp FC
\]

### Kết luận

Vì vậy, đã chứng minh được:
- \( BD = CD \)
- \( F, D, E \) thẳng hàng
- \( AD \perp FC \)