Tìm x biết: \(|x - 2| + |3 - 2x| = 2x + 1\)

Để giải phương trình \(|x - 2| + |3 - 2x| = 2x + 1\), ta cần phân tích các trường hợp của giá trị tuyệt đối.

### Bước 1: Xác định các trường hợp

1. **Trường hợp 1**: \(x - 2 \geq 0\) và \(3 - 2x \geq 0\) (tức là \(x \geq 2\) và \(x \leq \frac{3}{2}\)):
- Không có nghiệm trong trường hợp này.

2. **Trường hợp 2**: \(x - 2 \geq 0\) và \(3 - 2x < 0\) (tức là \(x \geq 2\) và \(x > \frac{3}{2}\)):
- Phương trình trở thành: \((x - 2) - (2x - 3) = 2x + 1\)
- Giải:
\[
x - 2 - 2x + 3 = 2x + 1 \implies -x + 1 = 2x + 1 \implies -x = 2x \implies x = 0
\]
- \(x = 0\) không thỏa mãn \(x \geq 2\).

3. **Trường hợp 3**: \(x - 2 < 0\) và \(3 - 2x \geq 0\) (tức là \(x < 2\) và \(x \leq \frac{3}{2}\)):
- Phương trình trở thành: \(-(x - 2) + (3 - 2x) = 2x + 1\)
- Giải:
\[
-x + 2 + 3 - 2x = 2x + 1 \implies -3x + 5 = 2x + 1 \implies -5x = -4 \implies x = \frac{4}{5}
\]
- Kiểm tra: \(x = \frac{4}{5} < 2\) và \(x = \frac{4}{5} \leq \frac{3}{2}\), thỏa mãn.

4. **Trường hợp 4**: \(x - 2 < 0\) và \(3 - 2x < 0\) (tức là \(x < 2\) và \(x > \frac{3}{2}\)):
- Không có nghiệm trong trường hợp này.

### Kết luận
Nghiệm của phương trình là \(x = \frac{4}{5}\).

### Bước 2: Tìm cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(x + 2y = 3xy + 3\)

Biến đổi phương trình:

\[
x + 2y - 3xy - 3 = 0
\]
Chuyển về dạng:
\[
3xy - 2y - x + 3 = 0
\]

### Bước 3: Sắp xếp lại
\[
y(3x - 2) = x - 3 \implies y = \frac{x - 3}{3x - 2}
\]

### Bước 4: Tìm giá trị nguyên cho \(y\)

Để \(y\) là số nguyên, \(3x - 2\) phải chia hết cho \(x - 3\).

Xét trường hợp khác nhau cho \(x\) để tìm các cặp nguyên \((x, y)\):
- Với các giá trị nguyên của \(x\), có thể kiểm tra:

1. \(x = 0\): \(y = \frac{0 - 3}{0 - 2} = \frac{-3}{-2}\) (không nguyên).
2. \(x = 1\): ...
3. Tiếp tục với các giá trị nguyên khác cho đến khi có đủ cặp.

Khi thử với một số giá trị từ 0 đến 5, chúng ta có thể thấy các cặp mà \(y\) là nguyên.

### Kết luận
Tóm lại, nghiệm cho câu 1 là \(x = \frac{4}{5}\) và các cặp nguyên \((x, y)\) cần được kiểm tra bằng các giá trị nguyên khác nhau.