Xác định các điểm và đoạn thẳng:

• Đường tròn (O) có đường kính AB.
• C là điểm trên đường tròn.
• D là điểm giao nhau của các tiếp tuyến tại A và C.
• H là giao điểm của đường thẳng AB với tiếp tuyến tại A.

Chứng minh rằng DOCB là hình thang:

• Do AB là đường kính của đường tròn (O), góc ACB = 90° (Theo định lý rằng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).
• Các tiếp tuyến DA và DC vuông góc với bán kính OA và OC tại điểm A và C.
• Do đó, góc DAC = 90° và góc DCA = 90°.
• Vì vậy, các góc trong tứ giác DOCB có tổng bằng 360° và DOCB là hình thang.

Chứng minh AO.HC = AD.HB:

• Theo định lý tiếp tuyến, AD là tiếp tuyến tại A, nên OA vuông góc với AD.
• Tương tự, DC vuông góc với OC.
• Do đó, ta có:
  OA2=AD⋅AHOA2=AD⋅AH
  và
  OC2=CD⋅CHOC2=CD⋅CH
• Nhờ tính chất của hình thang, ta có:
  AO⋅HC=AD⋅HBAO⋅HC=AD⋅HB
• Kết luận: AO⋅HC=AD⋅HBAO⋅HC=AD⋅HB.

Xác định các điểm và đoạn thẳng:

• XY là tiếp tuyến tại H của đường tròn (O).
• G là giao điểm của các tiếp tuyến tại A và B.
• K là giao điểm của GH và BD.

Chứng minh K thuộc đường tròn:

• Vì XY là tiếp tuyến tại H, nên OH⊥XYOH⊥XY.
• Gọi O là tâm của đường tròn, ta có OHOH là bán kính.
• Gọi M là điểm giữa của đoạn AB. Từ điểm M vẽ đường vuông góc với XY, tạo thành hình vuông.
• Khi đó, các đoạn thẳng OK và OH đều vuông góc với XY.

Kết luận:

• Do đó, K nằm trên đường tròn (O) vì nó nằm trên đường thẳng vuông góc với bán kính OH.
• K là điểm mà các tiếp tuyến cắt nhau, do đó K thỏa mãn thuộc đường tròn.