Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng phần.

### a. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật

- **Khái niệm và giả thiết:** Tam giác ABC là tam giác cân tại A, với AH là đường cao. Gọi I là trung điểm của AB, và K là điểm trên đường đối của tia IH sao cho IK = IH.

- **Điều đầu tiên cần chứng minh** là tứ giác AHBK có các cạnh đối song song và bằng nhau, tức là AB // HK và AH // BK, và AB = HK.

1. **Đường cao AH và trung điểm I:** Vì A là đỉnh của tam giác cân, AH vuông góc với BC và I là trung điểm của AB. Do đó:
\[
AI = IB
\]

2. **Tính chất của tứ giác AHBK:**
- Vì HI vuông góc với AB (do AH là đường cao), nên IH vuông góc với AB.
- Do K được lấy trên đường đối của IH với IK = IH, ta có:
\[
HK = IH
\]
(1)
- Gọi góc giữa AB và đường thẳng HI là 90 độ, thì góc giữa IK và AH cũng là 90 độ do K nằm trên đường đối của IH.

3. **Kết luận:**
- Vì IH vuông góc với AB và IK cũng vuông góc với AH, ta có tứ giác AHBK có 2 cặp cạnh đối: AH // BK và AB // HK. Do đó, tứ giác AHBK là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh HK = AC

- Trong tam giác ABC, vì A là đỉnh của tam giác cân, độ dài AC = AB.
- Khác biệt ở điểm K: Do IK = IH, và I là trung điểm của AB, vậy chúng ta có:
\[
HK = IK + IH = IH + IH = 2IH
\]

- Từ đó, ta có:
\[
HK = AC
\]

### c. Tính tỉ số diện tích hai tam giác BHI và tam giác ABC

1. **Diện tích tam giác BHI:**
- Diện tích tam giác BHI có thể tính bằng công thức:
\[
S_{BHI} = \frac{1}{2} \cdot BI \cdot AH
\]

2. **Diện tích tam giác ABC:**
- Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH
\]

3. **Tỉ số diện tích:**
- Khi đó, tỉ số diện tích hai tam giác BHI và ABC là:
\[
\frac{S_{BHI}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} BI \cdot AH}{\frac{1}{2} AC \cdot AH} = \frac{BI}{AC}
\]

- Vì I là trung điểm của AB, A, B, C tạo thành tam giác cân cùng với tính chất đường cao nên BI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} AC, từ đó suy ra tỉ số:
\[
\frac{S_{BHI}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}
\]

### Kết luận:

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AHBK là hình chữ nhật, HK = AC và tỉ số diện tích hai tam giác BHI và ABC là \(\frac{1}{2}\).