Để chứng minh rằng \( S_{MAD} + S_{NBC} = S_{MENF} \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và các tỉ lệ diện tích trong tứ giác.

Giả sử \( S_{XY} \) là diện tích của tam giác \( XY \), với các điểm như sau:

- \( E \) là trung điểm của \( AB \)
- \( F \) là trung điểm của \( CD \)

Từ đó, \( AE = EB \) và \( CF = FD \).

### Bước 1: Xác định diện tích

Tam giác \( MAD \) và tam giác \( NBC \) được tạo ra từ các đoạn thẳng nối các đỉnh với các giao điểm \( M \) và \( N \) của các đường thẳng \( AF, DE \) và \( BF, CE \).

### Bước 2: Tính tỉ lệ diện tích

Đầu tiên, với diagram tứ giác \( ABCD \):

1. Tính diện tích tam giác \( ABC \) và \( ADC \):
- \( S_{ABC} + S_{ADC} = S_{ABCD} \)

2. Tính diện tích tại các điểm trung điểm \( E \) và \( F \):
- \( S_{AGE} + S_{BGE} + S_{CFE} + S_{DFE} = S_{ABCD} \)

Do các điểm \( E \) và \( F \) là trung điểm, diện tích của các tam giác trong tứ giác sẽ được chia đều.

### Bước 3: Sử dụng Tỉ lệ diện tích

Dựa trên các tỉ lệ giữa các diện tích, ta có:

\[
\frac{S_{MAD}}{S_{ABCD}} = \frac{m_1}{2}
\]
\[
\frac{S_{NBC}}{S_{ABCD}} = \frac{m_2}{2}
\]
\[
\frac{S_{MENF}}{S_{ABCD}} = \frac{m_1 + m_2}{4}
\]

Trong đó \( m_1 \), \( m_2 \) là tỉ lệ tương ứng cho các tam giác \( MAD \) và \( NBC \).

### Bước 4: Kết luận

Do đó, từ tỉ lệ trên:
\[
S_{MAD} + S_{NBC} = \frac{m_1}{2} \cdot S_{ABCD} + \frac{m_2}{2} \cdot S_{ABCD} = \frac{m_1 + m_2}{4} \cdot S_{ABCD} = S_{MENF}
\]

Vậy chứng minh được rằng:
\[
S_{MAD} + S_{NBC} = S_{MENF}
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành chứng minh.