Cho hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \). Gọi \( M \) là điểm trên đồ thị có hoành độ \( x = 2 \). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) \) tại \( M \) là \( y = ax + b \). Giá trị của biểu thức \( \frac{a}{b - 17} \) bằng bao nhiêu?

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) tại điểm \( M \) với hoành độ \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị hàm số tại \( x = 2 \)**:
\[
f(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7
\]
Vậy, điểm \( M(2, 7) \).

2. **Tính đạo hàm \( f'(x) \)**:
Sử dụng quy tắc chia để tính đạo hàm:
\[
f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}
\]
Áp dụng quy tắc thương:
\[
f'(x) = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2}
\]
Tính tử số:
\[
(x - 1)(2x) = 2x^2 - 2x
\]
\[
(x^2 + 3)(1) = x^2 + 3
\]
Tử số:
\[
2x^2 - 2x - x^2 - 3 = x^2 - 2x - 3
\]
Vậy:
\[
f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}
\]
Phân tích tử số:
\[
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
\]
Do đó:
\[
f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}
\]

3. **Tính \( f'(2) \)**:
\[
f'(2) = \frac{(2 - 3)(2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{(-1)(3)}{1} = -3
\]
Vậy hệ số góc \( a = f'(2) = -3 \).

4. **Viết phương trình tiếp tuyến**:
Sử dụng công thức tiếp tuyến tại điểm \( (x_0, y_0) \):
\[
y - y_0 = a(x - x_0)
\]
Với \( (x_0, y_0) = (2, 7) \):
\[
y - 7 = -3(x - 2)
\]
Rút gọn:
\[
y - 7 = -3x + 6 \implies y = -3x + 13
\]
Vậy \( a = -3 \) và \( b = 13 \).

5. **Tính giá trị của biểu thức \( \frac{a}{b - 17} \)**:
\[
b - 17 = 13 - 17 = -4
\]
Do đó:
\[
\frac{a}{b - 17} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( \frac{a}{b - 17} \) bằng \( \frac{3}{4} \).