Cho AB là dây cung của đường tròn tâm O. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Bán kính OC vuông góc với AB tại C thuộc cung lớn AB. CD cắt đường tròn tâm O tại E

Để chứng minh các điều kiện trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và một số quy tắc hình học.

### a. Chứng minh góc CEA = góc CAB

1. **Xem xét các góc**:
- Vì OC là bán kính và vuông góc với dây cung AB tại điểm C, nên góc OCB = 90°.
- Ta có tam giác OAC là tam giác vuông tại C (bởi OC ⊥ AB).
- Do vậy, góc CAB (góc giữa dây AB và cạnh CA) chính là góc tạo bởi cạnh CA với dây AB.

2. **Đường tròn**:
- E nằm trên đường tròn, nghĩa là CE là một dây cung, suy ra góc CEA chính là góc nội tiếp tạo bởi các dây AB và CE.

3. **Tính chất góc nội tiếp**:
- Theo tính chất của góc nội tiếp, góc CEA = góc CAB, do cả hai đều nhìn một cung EA giống nhau trong hai đường tròn cùng tâm O.

### b. Chứng minh CA² = CE * CB

1. **Sử dụng định lý dây cung**:
- Trong một đường tròn, nếu từ một điểm ngoài đường tròn vẽ hai dây cung, thì tích của độ dài các đoạn của một dây cung là cố định. Cụ thể, với trường hợp này:
- CA là một đoạn, CB là một đoạn khác, và CE là đoạn cắt từ điểm D ra ngoài.

2. **Áp dụng định lý**:
- Từ tiết diện áp dụng thuật ngữ, áp dụng định lý dày cung, ta có:
\[
CA \cdot CB = CE \cdot CA
\]
- Vì vậy, sau khi sắp xếp lại, chúng ta có:
\[
CA² = CE \cdot CB
\]

### Kết luận
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
- Góc CEA = góc CAB (a)
- CA² = CE * CB (b)

Hai kết quả này được chứng minh dựa trên các tính chất hình học của đường tròn và góc nội tiếp.